Question

4．為改善居民的生活環(huán)境，政府?dāng)M將一公園進行改造擴建，已知原公園是直徑為200米的半圓形，出入口在圓心O處，A為居民小區(qū)，OA的距離為200米，按照設(shè)計要求，以居民小區(qū)A和圓弧上點B為線段向半圓外作等腰直角三角形ABC（C為直角頂點），使改造后的公園成四邊形OACB，如圖所示．
（1）若OB⊥OA時，C與出入口O的距離為多少米？
（2）B設(shè)計在什么位置時，公園OACB的面積最大？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)OA⊥OB時，作CE⊥OB，垂足為E，得到四邊形OADE是矩形，利用矩形的性質(zhì)得到△ACD≌△BCE，由此得到關(guān)于BE的等式，得到OE長度，求得OC；
（2）設(shè)∠AOB=α，利用余弦定理得到以及三角形的面積公式得到關(guān)于α的面積表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)求最值．

解答 解：當(dāng)OA⊥OB時，如圖1，

作CE⊥OB，垂足為E，則四邊形OADE是矩形，
∴DE=OA=200，
∵等腰直角三角形ABC，∠ACB=90°，
∴AB=BC，∠ACD+∠BCE=∠ACD+∠CAE=90°，
∴∠BCE=∠CAD，∴△ACD≌△BCE，∴AD=CE，CD=DE，
設(shè)BE=x，則CD=x，∴AD=OE=OB+BE=100+x，又AD=CE=DE-CD=200-x，
∴100+x=00-x，解得x=50，
∴OC=$\sqrt{2}$OE=150$\sqrt{2}$m．
（2）如圖2，

設(shè)∠AOB=α，則AB²=OB²+OA²-2OB×OA×cosα=50000-40000cosα，
又${S}_{△ABC}\frac{1}{2}A{C}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}A{B}^{2}$=12500-10000cosα，又${S}_{△AOB}=\frac{1}{2}OA×OBsinα$=$\frac{1}{2}$×200×100sinα=10000sinα，
∴S_{四邊形OACB}=S_△ABC+S_△AOB=12500-10000cosα+10000sinα=10000（sinα-cosα）+12500=10000$\sqrt{2}$sin（$α-\frac{π}{4}$）+12500，
∴當(dāng)sin（$α-\frac{π}{4}$）=1，即$α=\frac{3π}{4}$時，四邊形OACB面積最大為（10000$\sqrt{2}$+12500）m²．

點評 本題考查了余弦定理以及三角形的面積公式結(jié)合的面積最值求法，關(guān)鍵是建立關(guān)系式，借助于三角函數(shù)的有界性求最值．