Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+a_n+1=6n+1（n∈N^*）
（1）若{a_n}是等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，Sn是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和，設(shè)b_n=

2

2Sn+5n

，是否存在正整數(shù)k，使得

1

8

＜b₂+b₄+…+b_2k＜

1

7

？若存在，求出所有的k值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得a_n+2-a_n=6，由此能求出a_n=3n-1．
（2）由已知條件得數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為3，公差為6的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為4，公差為6的等差數(shù)列，從而得到b2+b4+…+b2k=

1

6

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

k

-

1

k+1

)=

k

6(k+1)

，由此能示出存在正整數(shù)k，k=4，5．

解答： （本題滿分13分）
解：（1）∵a_n+a_n+1=6n+1，
∴a_n+1+a_n+2=6n+7，∴a_n+2-a_n=6，
又?jǐn)?shù)列{a_n}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則2d=6，∴d=3，…（3分）
又a₁+a₂=7，∴2a₁+d=7，∴a₁=2，∴a_n=2+3（n-1）=3n-1，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=3n-1(n∈N*)．…（6分）
（2）由 a₁+a₂=7，又a₁=3，得a₂=4，
由（1）知數(shù)列{a_n}的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為3，公差為6的等差數(shù)列，
偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為4，公差為6的等差數(shù)列．…（8分）
S2k=3k+

k(k-1)

2

×6+4k+

k(k-1)

2

×6=6k2+k，
∴b2k=

2

2S2k+10k

=

2

12k2+12k

=

1

6k(k+1)

=

1

6

(

1

k

-

1

k+1

)…（10分）
∴b2+b4+…+b2k=

1

6

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

k

-

1

k+1

)=

k

6(k+1)

，
解不等式

1

8

＜

k

6(k+1)

＜

1

7

，得3＜k＜6
又k為正整數(shù)，故存在正整數(shù)k，k=4，5．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查滿足條件的正整數(shù)的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意挖掘隱含條件，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．