Question

19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B是圓C：（x-2）²+y²=4上的點(diǎn)，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，若直線(xiàn)$l：y=kx-\sqrt{5}k$上存在點(diǎn)P，使得∠OPM=30°，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為[-2，2]．

Answer 1

分析 先求出M的軌跡方程，從直線(xiàn)上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線(xiàn)成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線(xiàn)均為切線(xiàn)時(shí)才是最大的角，此時(shí)OP=2，利用圓上存在點(diǎn)點(diǎn)P，使得∠OPM=30°，可得圓心到直線(xiàn)的距離d=$\frac{|\sqrt{5}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤2，進(jìn)而得出答案．

解答 解：設(shè)M（x，y），則B（2x+2，2y），代入圓C：（x-2）²+y²=4，可得（2x+2-2）²+（2y）²=4，
即x²+y²=1
由題意，從直線(xiàn)上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線(xiàn)成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線(xiàn)均為切線(xiàn)時(shí)才是最大的角，此時(shí)OP=2．
∵圓上存在點(diǎn)點(diǎn)P，使得∠OPM=30°，
∴圓心到直線(xiàn)的距離d=$\frac{|\sqrt{5}k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤2，
∴-2≤k≤2，
故答案為：[-2，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線(xiàn)與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的計(jì)算公式、數(shù)形結(jié)合思想方法，屬于中檔題．