Question

已知圓C的圓心在直線3x-y=0上且在第一象限，圓C與x相切，且被直線x-y=0截得的弦長為2

7

．
（1）求圓C的方程；
（2）若P（x，y）是圓C上的點(diǎn)，滿足

3

x+y-m≤0恒成立，求m的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：

分析：（1）由圓心在直線x-3y=0上，設(shè)出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)圓與y軸相切，得到圓心到y(tǒng)軸的距離即圓心橫坐標(biāo)的絕對值等于圓的半徑，表示出半徑r，然后過圓心作出弦的垂線，根據(jù)垂徑定理得到垂足為弦的中點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線y=x的距離d，由弦長的一半，圓的半徑r及表示出的d利用勾股定理列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到t的值，從而得到圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可；
（2）由題知，m≥（

3

x+y）_max．利用圓的參數(shù)方程，結(jié)合輔助角公式化簡，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)圓心為（3t，t），半徑為r=|3t|，
則圓心到直線y=x的距離 d=

|3t-t|

2

=|

2

t|，
而 (

7

)2=r²-d²，
∴9t²-2t²=7，
∴t=±1，
∴（x-3）²+（y-1）²=9或（x+3）²+（y+1）²=9．
∴圓心在第一象限的圓是（x-3）²+（y-1）²=9；
（2）由題知，m≥（

3

x+y）_max．
設(shè)x=1+3cosθ，y=3+3sinθ，
則

3

x+y=

3

（1+3cosθ）+（3+3sinθ）=6sin（θ+

π

3

）+3+

3

∴6sin（θ+

π

3

）=1時，（

3

x+y）_max=9+

3

∴m≥9+

3

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了垂徑定理，勾股定理及點(diǎn)到直線的距離公式，考查圓的參數(shù)方程．根據(jù)題意設(shè)出圓心坐標(biāo)，找出圓的半徑是解本題的關(guān)鍵．