Question

已知關(guān)于x的方程2x²-（

3

+1）x+m=0的兩根為sinθ和cosθ，θ∈（0，π）．求：
（1）m的值；
（2）

tanθsinθ

tanθ-1

+

cosθ

1-tanθ

的值；
（3）方程的兩根及此時(shí)θ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）由sinθ，cosθ是方程2x²-（

3

+1）x+m=0的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理（一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系）我們易得：sinθ+cosθ=

3 +1

2

，sinθ•cosθ=

m

2

，結(jié)合同角三角函數(shù)平方關(guān)系，根據(jù)一個(gè)關(guān)于m的方程，解方程即可得到答案；
（2）切化弦，代入計(jì)算可得結(jié)論；
（3）由（1）知，sinθ+cosθ=

3 +1

2

，sinθ•cosθ=

3

4

，可得sinθ=

3

2

，cosθ=

1

2

或sinθ=

1

2

，cosθ=

3

2

，從而可求θ的值．

解答： 解：（1）∵sinθ，cosθ是方程2x²-（

3

+1）x+m=0的兩個(gè)根，
∴sinθ+cosθ=

3 +1

2

，sinθ•cosθ=

m

2

則（sinθ+cosθ）²=1+2sinθ•cosθ=1-m=

2+ 3

2

∴m=-

3

2

；
（2）

tanθsinθ

tanθ-1

+

cosθ

1-tanθ

=

sin2θ-cos2θ

sinθ-cosθ

=sinθ+cosθ=

3 +1

2

；
（3）由（1）知，sinθ+cosθ=

3 +1

2

，sinθ•cosθ=

3

4

∴sinθ=

3

2

，cosθ=

1

2

或sinθ=

1

2

，cosθ=

3

2

，
∵θ∈（0，π），
∴θ=

π

3

或

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．