Question

如圖，景點(diǎn)A在景點(diǎn)B的正北方向2千米處，景點(diǎn)C在景點(diǎn)B的正東方向2

3

千米處．
（Ⅰ）游客甲沿CA從景點(diǎn)C出發(fā)行至與景點(diǎn)B相距

7

千米的點(diǎn)P處，記∠PBC=α，求sinα的值；
（Ⅱ）甲沿CA從景點(diǎn)C出發(fā)前往景點(diǎn)A，乙沿AB從景點(diǎn)A出發(fā)前往景點(diǎn)B，甲乙同時(shí)出發(fā)，甲的速度為1千米/小時(shí)，乙的速度為2千米/小時(shí)．若甲乙兩人之間通過(guò)對(duì)講機(jī)聯(lián)系，對(duì)講機(jī)在該景區(qū)內(nèi)的最大通話(huà)距離為3千米，問(wèn)有多長(zhǎng)時(shí)間兩人不能通話(huà)？（精確到0.1小時(shí)，參考數(shù)據(jù)：

5

≈2.2，

15

≈3.9）

Answer 1

考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（Ⅰ）在Rt△ABC中，求出∠C=30°，在△PBC中，由余弦定理，求得PC，在△PBC中，由正弦定理求sinα的值；
（Ⅱ）設(shè)甲出發(fā)后的時(shí)間為t小時(shí)，①當(dāng)1≤t≤4時(shí)，乙在景點(diǎn)B處，甲在線段PA上，甲乙間的距離d≤BP＜3，此時(shí)不合題意；…（9分）
②當(dāng)0≤t＜1時(shí)，設(shè)乙在線段AB上的位置為點(diǎn)Q，在△AMQ中，由余弦定理可得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB=2，BC=2

3

，∴∠C=30°
在△PBC中，由余弦定理得BC²+PC²-2BC•PC•cos30°=BP²，即12+PC2-2×2

3

×PC×

3

2

=7
化簡(jiǎn)，得PC²-6PC+5=0，解得PC=1或PC=5（舍去）　…（3分）
在△PBC中，由正弦定理得

PC

sinα

=

PB

sin30°

，即

1

sinα

=

7

1 2

∴sinα=

7

14

…（6分）
（Ⅱ）Rt△ABC中，BA=2，BC=2

3

，AC=

BA2+BC2

=4
設(shè)甲出發(fā)后的時(shí)間為t小時(shí)，則由題意可知0≤t≤4，設(shè)甲在線段CA上的位置為點(diǎn)M，AM=4-t
在△PBC中，由余弦定理得BC²+PC²-2BC•PC•cos30°=BP²，
即12+PC2-2×2

3

×PC×

3

2

=7，化簡(jiǎn)得PC²-6PC+5=0
解得PC=1或PC=5（舍去）
①當(dāng)1≤t≤4時(shí)，乙在景點(diǎn)B處，甲在線段PA上，甲乙間的距離d≤BP＜3，此時(shí)不合題意；…（9分）
②當(dāng)0≤t＜1時(shí)，設(shè)乙在線段AB上的位置為點(diǎn)Q，則AQ=2t
在△AMQ中，由余弦定理得，MQ²=（4-t）²+（2t）²-2×2t×（4-t）×cos60°=7t²-16t+16
令MQ＞3即MQ²＞9，得7t²-16t+7＞0，解得t＜

8- 15

7

或t＞

8+ 15

7

∴0≤t＜

8- 15

7

…（12分）
綜上，當(dāng)0≤t＜

8- 15

7

時(shí)，甲、乙間的距離大于3米．
又

8- 15

7

≈0.6，故兩人不能通話(huà)的時(shí)間大約為0.6小時(shí)　…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．