Question

如圖，景點A在景點B的正北方向2千米處，景點C在景點B的正東方向2

3

千米處．
（Ⅰ）游客甲沿CA從景點C出發(fā)行至與景點B相距

7

千米的點P處，記∠PBC=α，求sinα的值；
（Ⅱ）甲沿CA從景點C出發(fā)前往景點A，乙沿AB從景點A出發(fā)前往景點B，甲乙同時出發(fā)，甲的速度為1千米/小時，乙的速度為2千米/小時．若甲乙兩人之間通過對講機聯(lián)系，對講機在該景區(qū)內的最大通話距離為3千米，問有多長時間兩人不能通話？（精確到0.1小時，參考數(shù)據(jù)：

5

≈2.2，

15

≈3.9）

Answer 1

考點：解三角形的實際應用

專題：應用題,解三角形

分析：（Ⅰ）在Rt△ABC中，求出∠C=30°，在△PBC中，由余弦定理，求得PC，在△PBC中，由正弦定理求sinα的值；
（Ⅱ）設甲出發(fā)后的時間為t小時，①當1≤t≤4時，乙在景點B處，甲在線段PA上，甲乙間的距離d≤BP＜3，此時不合題意；…（9分）
②當0≤t＜1時，設乙在線段AB上的位置為點Q，在△AMQ中，由余弦定理可得結論．

解答： 解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB=2，BC=2

3

，∴∠C=30°
在△PBC中，由余弦定理得BC²+PC²-2BC•PC•cos30°=BP²，即12+PC2-2×2

3

×PC×

3

2

=7
化簡，得PC²-6PC+5=0，解得PC=1或PC=5（舍去）　…（3分）
在△PBC中，由正弦定理得

PC

sinα

=

PB

sin30°

，即

1

sinα

=

7

1 2

∴sinα=

7

14

…（6分）
（Ⅱ）Rt△ABC中，BA=2，BC=2

3

，AC=

BA2+BC2

=4
設甲出發(fā)后的時間為t小時，則由題意可知0≤t≤4，設甲在線段CA上的位置為點M，AM=4-t
在△PBC中，由余弦定理得BC²+PC²-2BC•PC•cos30°=BP²，
即12+PC2-2×2

3

×PC×

3

2

=7，化簡得PC²-6PC+5=0
解得PC=1或PC=5（舍去）
①當1≤t≤4時，乙在景點B處，甲在線段PA上，甲乙間的距離d≤BP＜3，此時不合題意；…（9分）
②當0≤t＜1時，設乙在線段AB上的位置為點Q，則AQ=2t
在△AMQ中，由余弦定理得，MQ²=（4-t）²+（2t）²-2×2t×（4-t）×cos60°=7t²-16t+16
令MQ＞3即MQ²＞9，得7t²-16t+7＞0，解得t＜

8- 15

7

或t＞

8+ 15

7

∴0≤t＜

8- 15

7

…（12分）
綜上，當0≤t＜

8- 15

7

時，甲、乙間的距離大于3米．
又

8- 15

7

≈0.6，故兩人不能通話的時間大約為0.6小時　…（13分）

點評：本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查正弦定理、余弦定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．