Question

【題目】已知函數(shù).

若曲線在處的切線斜率為0，求a的值；

(Ⅱ）若恒成立，求a的取值范圍；

(Ⅲ）求證：當(dāng)時(shí)，曲線 (x>0)總在曲線的上方．

Answer 1

【答案】（I）. （II）.（III）見解析.

【解析】試題分析：(Ⅰ)利用導(dǎo)函數(shù)在x=0處的值等于零,可以求出a的值.

(Ⅱ).分，，三種情況討論求的最小值即可;

(Ⅲ) 當(dāng)時(shí)，構(gòu)造,證明

試題解析：（I）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

因?yàn)?/span>，所以.

由得.

（II）.

①當(dāng)時(shí)，令得.

時(shí)，；時(shí)，.

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)時(shí)，有最小值.

“恒成立”等價(jià)于“最小值大于等于0”，即.

因?yàn)?/span>，所以.

②當(dāng)時(shí)，符合題意；

③當(dāng)時(shí)，取，則，不符合題意.

綜上，若對(duì)恒成立，則的取值范圍為.

（III）當(dāng)時(shí)，令，可求.

因?yàn)?/span>，，且在上單調(diào)遞增，

所以在（0，）上存在唯一的，使得，即，且

.

當(dāng)變化時(shí)，與在（0，）上的情況如下：

		0
		極小

則當(dāng)時(shí)，存在最小值,且.

因?yàn)?/span>，所以.

所以當(dāng)時(shí)，

所以當(dāng)時(shí)，曲線總在曲線的上方.