Question

已知函數(shù)f(x)=

ax+b，x＞1 (a+b)x，-1≤x≤1 -a-x-b，x＜-1

(a＞0，且a≠1，b∈R)．
（1）若b=-2且f（x）為R上的增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若2≤a≤4且f（x）有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得，f1(x)=ax+b，x＞1，f₂（x）=（a+b）x，-1≤x≤1，f3(x)=-a-x-b，x＜-1同時(shí)為增函數(shù)，又

f3(-1)=f2(-1) f2(1)=f1(1)

，可得a＞-b，所以b=-2時(shí)，a＞2
（2）由題意可得當(dāng)2≤a≤4時(shí)，y₁=f₁（x），y₂=f₂（x），y₃=f₃（x）各有一個(gè)零點(diǎn)，故有f（-1）＞0＞f（1），故有b＜-a．再根據(jù)（-a）_min=-4，得b＜-4

解答： 解：（1）f（x）為R上的增函數(shù)，
需滿(mǎn)足：f1(x)=ax+b，x＞1，f₂（x）=（a+b）x，-1≤x≤1，f3(x)=-a-x-b，x＜-1同時(shí)為增函數(shù)，
又

f3(-1)=f2(-1) f2(1)=f1(1)

，
∴

a＞1 a+b＞0

，即a＞-b．
∴b=-2時(shí)，a＞2，
故所求的a的范圍是（2，+∞）．
（2）當(dāng)2≤a≤4時(shí)，f1(x)=ax+b，x＞1，f3(x)=-a-x-b，x＜-1均為增函數(shù)，
欲使函數(shù)y=f（x）有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，
則需y₁=f₁（x），y₂=f₂（x），y₃=f₃（x）各有一個(gè)零點(diǎn)，
∴f（-1）＞0＞f（1），
即-（a+b）＞0＞（a+b），∴
b＜-a．
又當(dāng)2≤a≤4時(shí)，（-a）_min=-4，
∴b＜-4為所求，
即b的范圍為（-∞，-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．