Question

已知函數(shù)f1(x)=3|x-t1|，f2(x)=2•3|x-t2|（x∈R，t₁，t₂為常數(shù)），函數(shù)f（x）定義為：對(duì)每一個(gè)給定的實(shí)數(shù)x，f(x)=

f1(x) f1(x)≤f2(x) f2(x) f1(x)＞f2(x)

，
（1）求證：當(dāng)t₁，t₂滿足條件|t1-t2|≤lo

g

2

3時(shí)，對(duì)于x∈R，f（x）=f₁（x）；
（2）設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，滿足a＜b，且t₁，t₂∈（a，b），若f（a）=f（b），求函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)遞增區(qū)間的長(zhǎng)度之和．（閉區(qū)間[m，n]的長(zhǎng)度定義為n-m）

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的定義，確定當(dāng)t₁，t₂滿足條件|t1-t2|≤lo

g

2

3時(shí)，f₁（x）≤f₂（x）成立；
（2）根據(jù)區(qū)間長(zhǎng)度的定義，進(jìn)行求解即可．

解答： 解：（1）由f（x）的定義可知，f（x）=f₁（x）（對(duì)所有實(shí)數(shù)x）等價(jià)于f₁（x）≤f₂（x）（對(duì)所有實(shí)數(shù)x）這又等價(jià)于3|x-t1|≤2•3|x-t2|，即3|x-t1|-|x-t2|≤3log32=2對(duì)所有實(shí)數(shù)x均成立．（*）

由于|x-t₁|-|x-t₂|≤|（x-t₁）-（x-t₂）|=|t₁-t₂|（x∈R）的最大值為|p₁-p₂|，
故（*）等價(jià)于3|t1-t2|≤2，即|t₁-t₂|≤log₃2，
所以當(dāng)|t₁-t₂|≤log₃2時(shí)，f（x）=f₁（x）
（2）分兩種情形討論
（i）當(dāng)|t₁-t₂|≤log₃2時(shí)，由（1）知f（x）=f₁（x）（對(duì)所有實(shí)數(shù)x∈[a，b]）
則由f（a）=f（b）及a＜t₁＜b易知t1=

a+b

2

，
再由f1(x)=

3t1-x，x＜t1 3x-t1，x≥t1

的單調(diào)性可知，
函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度
為b-

a+b

2

=

b-a

2

（參見示意圖1）
（ii）|t₁-t₂|＞log₃2時(shí)，不妨設(shè)t₁＜t₂，則t₂-t₁＞log₃2，于是
當(dāng)x≤t₁時(shí)，有f1(x)=3t1-x＜3t2-x＜f2(x)，從而f（x）=f₁（x）；
當(dāng)x≥t₂時(shí)，有f1(x)=3x-t1=3t2-t1+x-t2=3t2-t1•3x-t2＞3log32•3x-t2=f2(x)
從而 f（x）=f₂（x）；
當(dāng)t₁＜x＜t₂時(shí)，f1(x)=3x-t1，及f2(x)=2•3t2-x，由方程3x-t1=2•3t2-x
解得f₁（x）與f₂（x）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0=

t1+t2

2

+

1

2

log32（1）
顯然t1＜x0=t2-

1

2

[(t2-t1)-log32]＜t2，
這表明x₀在t₁與t₂之間．由（1）易知f(x)=

f1(x) f2(x)

，

t1≤x≤x0 x0＜x≤t2

綜上可知，在區(qū)間[a，b]上，f(x)=

f1(x) f2(x)

，

a≤x≤x0 x0＜x≤b

（參見示意圖2）
故由函數(shù)f₁（x）及f₂（x）的單調(diào)性可知，f（x）在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度之和為（x₀-t₁）+（b-t₂），由于f（a）=f（b），即3t1-a=2•3b-t2，得t₁+t₂=a+b+log₃2（2）
故由（1）、（2）得  (x0-t1)+(b-t2)=b-

1

2

[t1+t2-log32]=

b-a

2

綜合（i）（ii）可知，f（x）在區(qū)間[a，b]上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和為

b-a

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，以及與函數(shù)有關(guān)的運(yùn)算，綜合性較強(qiáng)，難度較大．