Question

【題目】已知數(shù)列滿足， .

(1)求證： ；

(2)求證： ；

(3)求證： .

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】試題分析： 用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時成立，假設(shè)成立下證時也成立當(dāng)時成立，由(1)結(jié)果得 ，下證也成立由(2)結(jié)果得計算得出結(jié)果

解析：(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)n＝1時，命題顯然成立；

②假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時，有≤ak≤1成立，

則當(dāng)n＝k＋1時，ak＋1＝，

ak＋1＝，

即當(dāng)n＝k＋1時也成立，

所以對任意n∈N*，都有≤an≤1.

(2)當(dāng)n＝1時，|a2－a1|＝，

當(dāng)n≥2時，∵ ＝·＝1＋≥1＋＝，

∴|an＋1－an|＝

＝≤|an－an－1|≤…≤|a2－a1|

＝.

綜上所述，|an＋1－an|≤.

(3)當(dāng)n＝1時，|a2－a1|＝＝；

當(dāng)n≥2時，由(2)知

|a2n－an|≤|a2n－a2n－1|＋|a2n－1－a2n－2|＋…＋|an＋1－an|≤

＝，綜上所述，|a2n－an|≤.