Question

已知a₁=2，點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，其中n=1，2，3…
（1）證明數(shù)列{lg（1+a_n）}是等比數(shù)列
（2）設(shè)T_n=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n），求T_n及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)
（3）記b_n=

1

an

+

1

an+2

，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，證明

3

4

≤Sn＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）把點(diǎn)（a_n，a_n+1）代入函數(shù)式，整理得a_n+1+1=（a_n+1）²，兩邊取對數(shù)整理得

lg(1+an+1)

lg(1+an)

=2，進(jìn)而判斷{lg（1+a_n）}是公比為2的等比數(shù)列，；
（2）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求的數(shù)列{lg（1+a_n）}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求的a_n代入到T_n=（1+a₁）（1+a₂）（1+a_n）求的T_n；
（3）將a_n+1=a_n²+2a_n因式分解后取倒數(shù)，再裂項(xiàng)得到

1

an+2

=

1

an

-

2

an+1

，代入b_n化簡后再利用相消法求出S_n，再根據(jù)n的取值和式子的特點(diǎn)求出其范圍．

解答： 解：（1）由已知a_n+1=a_n²+2a_n，∴a_n+1+1=（a_n+1）²
∵a₁=2
∴a₁+1=3＞1，兩邊取對數(shù)得lg（1+a_n+1）=2lg（1+a_n），
即

lg(1+an+1)

lg(1+an)

=2，
∴{lg（1+a_n）}是lg3為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列．
（2）由（1）知lg（1+a_n）=2^n-1•lg3=lg32n-1，
∴1+an=32n-1，則an=32n-1-1
∴T_n=（1+a₁）（1+a₂）（1+a_n）=320•321•322…32n-1
=31+2+22+…+2n-1=32n-1，
（3）∵a_n+1=a_n²+2a_n，∴a_n+1=a_n（a_n+2），
∴

1

an+1

=

1

an(an+2)

=

1

2

(

1

an

-

1

an+2

)，
則

1

an+2

=

1

an

-

2

an+1

，
∴bn=

1

an

+

1

an+2

=

2

an

-

2

an+1

，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=2[（

1

a1

-

1

a2

）+（

1

a2

-

1

a3

）+…+（

1

an

-

1

an+1

）]
=2（

1

a1

-

1

an+1

），
∵an=32n-1-1，a1=2，an+1=32n-1
∴S_n=1-

2

32n-1

＜1，且隨著n的增大而增大，
∵n=1，2，3…，
∴當(dāng)n=1時，S_n有最小值是1-

2

32-1

=

3

4

故

3

4

≤Sn＜1．

點(diǎn)評：本題主要考查了等比關(guān)系的確定和數(shù)列的求和問題，考查了學(xué)生對數(shù)列知識的綜合掌握，靈活化簡、變形能力．