【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q為AD的中點,M是棱PC上的點,PA=PD=AD=2,BC=1,CD= .
(1)求證:平面PQB⊥平面PAD;
(2)若PM=3MC,求二面角M﹣BQ﹣C的大小.
【答案】
(1)證明:∵Q為AD的中點,PA=PD=AD=2,BC=1,
∴PQ⊥AD,QD BC,
∴四邊形BCDQ是平行四邊形,∴DC∥QB,
∵底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,
∴BQ⊥AD,
又BQ∩PQ=Q,∴AD⊥平面PQB,
∵AD平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD
(2)證明:解:∵PQ⊥AD,平面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩底面ABCD=AD,
∴PQ⊥底面ABCD,
以Q為原點,QA為x軸,QB為y軸,QP為z軸,建立空間直角坐標系,
則Q(0,0,0),B(0, ,0),C(﹣1, ,0),P(0,0, ),
設M(a,b,c),則 ,即(a,b,c﹣ )= (﹣1, ,﹣ )=(﹣ , ,﹣ ),
∴ ,b= ,c= ,∴M(﹣ , , ),
=(﹣ , , ), =(0, ,0),
設平面MQB的法向量 =(x,y,z),
則 ,取x=1,得 =(1,0, ),
平面BQC的法向量 =(0,0,1),
設二面角M﹣BQ﹣C的平面角為θ,
則cosθ= = ,∴θ= ,
∴二面角M﹣BQ﹣C的大小為 .
【解析】(1)推導出四邊形BCDQ是平行四邊形,從而BQ⊥AD,進而AD⊥平面PQB,由此能證明平面PQB⊥平面PAD.(2)以Q為原點,QA為x軸,QB為y軸,QP為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角M﹣BQ﹣C的大小.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用平面與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案,需要掌握一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】狄利克雷函數(shù)是高等數(shù)學中的一個典型函數(shù),若,則稱為狄利克雷函數(shù).對于狄利克雷函數(shù),給出下面4個命題:①對任意,都有;②對任意,都有;③對任意,都有, ;④對任意,都有.其中所有真命題的序號是( )
A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①③④
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)且f(-2)=-3,當x≥0時,f(x)=ax-1,其中a>0且a≠1.
(1)求的值;
(2)求函數(shù)f(x)的解析式;
(3)已知g(x)=log2x,若對任意的x1∈[1,4],存在使得f(mx1)+1≥g(x2)(其中m≥0)成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知F1 , F2是橢圓C: + =1的左、右焦點.
(1)若點M在橢圓C上,且∠F1MF2=60°,求△F1MF2的面積;
(2)動直線y=k(x+1)與橢圓C相交于A,B兩點,點T(t,0),問是否存在t∈R,使得 為定值,若存在求出t的值,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知定義在(1,+∞)上的函數(shù)f(x)=.
(1)當m≠0時,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并證明你的結論;
(2)當m=時,求解關于x的不等式f(x2-1)>f(3x-3).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是菱形,且.點
是棱的中點,平面與棱交于點.
(1)求證:∥;
(2)若,且平面平面,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點,且雙曲線C的實軸長為6,離心率為.
(1)求雙曲線C的標準方程;
(2)設點P是雙曲線C上任意一點,且|PF1|=10,求|PF2|.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)= +log2(6﹣x)的定義域是( )
A.{x|x>6}
B.{x|﹣3<x<6}
C.{x|x>﹣3}
D.{x|﹣3≤x<6}
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