Question

已知f（x）定義域為（0，+∞），f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f（x）＜-xf′（x），則不等式f（x+1）＞（x-1）f（x²-1）的解集是

 

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Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由題意構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf （x），再由導(dǎo)函數(shù)的符號判斷出函數(shù)g（x）的單調(diào)性，不等式f（x+1）＞（x-1）f（x²-1），構(gòu)造為g（x+1）＞g（x²-1），問題得以解決．

解答： 解：設(shè)g（x）=xf（x），
則g'（x）=[xf（x）]'
=x'f（x）+xf'（x）
=xf′（x）+f（x）＜0，
∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∵f（x+1）＞（x-1）f（x²-1），x∈（0，+∞），
∴（x+1）f（x+1）＞（x+1）（x-1）f（x²-1），
∴（x+1）f（x+1）＞（x²-1）f（x²-1），
∴g（x+1）＞g（x²-1），
∴x+1＜x²-1，
解得x＞2．
故答案為：（2，+∞）．

點評：本題考查了由條件構(gòu)造函數(shù)和用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系對不等式進行判斷．