Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（2^x+1）-kx為偶函數(shù)．
（1）求實數(shù)k的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（3）若?t∈R，都有f（t²+2t+3）＞f（m），求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義：f（-x）=f（x）即可求出k；
（2）求f′（x），根據(jù)f′（x）的符號即可證出f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（3）通過配方求得t²+2t+3≥2，所以根據(jù)函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性求m≥0時，m的取值，再根據(jù)偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸的對稱性求當(dāng)m＜0時，滿足f（t²+2t+3）＞f（m）的m的取值，求這兩種情況的m的并集即可求出m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）為偶函數(shù)，
∴f（-x）=log2(2-x+1)+kx=log2

2x+1

2x

+kx=log2(2x+1)+(k-1)x=log2(2x+1)-kx；
∴k-1=-k，∴k=

1

2

；
（2）f（x）=log2(2x+1)-

1

2

x，f′（x）=

2x

2x+1

-

1

2

=

2•2x-2x-1

2(2x+1)

=

2x-1

2(2x+1)

，
∵x＞0，∴2^x-1＞0；
∴f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（3）由（2）知f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增；
∵f（x）為偶函數(shù)，∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減；
t²+2t+3=（t+1）²+2≥2；
∴若m≥0，根據(jù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)性可得：m＜t²+2t+3，
t²+2t+3的最小值為2，∴0≤m＜2；
若m＜0，根據(jù)偶函數(shù)關(guān)于y軸的對稱性知，-2＜m＜0時，f（t²+2t+3）＞f（m）；
∴實數(shù)m的取值范圍為（-2，2）．

點評：考查偶函數(shù)的定義，對數(shù)的運算，函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對單調(diào)性定義的運用，偶函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，在對稱區(qū)間上的函數(shù)值的特點．