已知A、B為拋物線C：y2=4x上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限，l1、l2分別過點(diǎn)A、B且與拋物線C相切，P為l1、l2的交點(diǎn)．
（Ⅰ）若直線AB過拋物線C的焦點(diǎn)F，求證：動(dòng)點(diǎn)P在一條定直線上，并求此直線方程；
（Ⅱ）設(shè)C、D為直線l1、l2與直線x=4的交點(diǎn)，求△PCD面積的最小值．
考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）利用直線l1、l2與拋物線C相切，求出l1、l2方程，可得點(diǎn)P坐標(biāo)，再求出AB的方程，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）求出C，D的坐標(biāo)，可得|CD|，表示出△PCD面積，利用導(dǎo)數(shù)法可求最小值．
解答： （Ⅰ）證明：設(shè)A(
y
2
1
4
 ， y1)，B(
y
2
2
4
 ， y2)（y1＞0＞y2）．
易知l1斜率存在，設(shè)為k1，則l1方程為y-y1=k1(x-
y
2
1
4
)．
由
 y-y1=k1(x-
y
2
1
4
)
 y2=4x
得，k1y2-4y+4y1-k1
y
2
1
=0…①
由直線l1與拋物線C相切，知△=16-4k1(4y1-k1
y
2
1
)=0．
于是，k1=
2
y1
，l1方程為y=
2
y1
x+
1
2
y1．
同理，l2方程為y=
2
y2
x+
1
2
y2．
聯(lián)立l1、l2方程可得點(diǎn)P坐標(biāo)為P(
y1y2
4
 ， 
y1+y2
2
)，
∵kAB=
y1-y2
y
2
1
4
-
y
2
2
4
=
4
y1+y2
，AB方程為y-y1=
4
y1+y2
(x-
y
2
1
4
)，AB過拋物線C的焦點(diǎn)F（1，0）．
∴-y1=
4
y1+y2
（1-
y12
4
），
∴y1y2=-4，
∴動(dòng)點(diǎn)P在一條定直線x=-1上；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，C，D的坐標(biāo)分別為（4，
8
y1
+
1
2
y1），D（4，
8
y2
+
1
2
y2），
∴| CD |=|  (
8
y1
+
1
2
y1)-(
8
y2
+
1
2
y2) |=| 
(y1y2-16)(y1-y2)
2y1y2
 |．
∴S△PCD=
1
2
| 4-
y1y2
4
 |•| 
(y1y2-16)(y1-y2)
2y1y2
 |．
設(shè)y1y2=-t2（t＞0），|y1-y2|=m，
由(y1+y2)2=(y1-y2)2+4y1y2=m2-4t2≥0知，m≥2t，當(dāng)且僅當(dāng)y1+y2=0時(shí)等號(hào)成立．
∴S△PCD=
1
2
| 4+
t2
4
 |•| 
(-t2-16)m
-2t2
 |=
m•(t2+16)2
16t2
≥
2t•(t2+16)2
16t2
=
(t2+16)2
8t
．
設(shè)f(t)=
(t2+16)2
8t
，則f′(t)=
2(t2+16)•2t•t-(t2+16)2
8t2
=
(3t2-16)(t2+16)
8t2
．
∴0＜t＜
4
3
3
時(shí)，f'（t）＜0；t＞
4
3
3
時(shí)，f'（t）＞0．f（t）在區(qū)間(0 ， 
4
3
3
]上為減函數(shù)；
在區(qū)間[
4
3
3
 ， +∞)上為增函數(shù)．
∴t=
4
3
3
時(shí)，f（t）取最小值
128
3
9
．
∴當(dāng)y1+y2=0，y1y2=-
16
3
，
即y1=
4
3
，y2=-
4
3
時(shí)，△PCD面積取最小值
128
3
9
．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2ex-（x-a）2+3，a∈R．
（1）若函數(shù)y=f（x）的圖象在x=0處的切線與x軸平行，求a的值；
（2）若x≥0，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

低碳生活，從“衣食住行”開始．在國(guó)內(nèi)一些網(wǎng)站中出現(xiàn)了“碳足跡”的應(yīng)用，人們可以由此計(jì)算出自己每天的碳排放量，如家居用電的二氧化碳排放量（千克）=耗電度數(shù)×0.785，家用天然氣的二氧化碳排放量（千克）=天然氣使用立方數(shù)×0.19等．某校開展“節(jié)能減排，保護(hù)環(huán)境，從我做起！”的活動(dòng)，該校高一、六班同學(xué)利用假期在東城、西城兩個(gè)小區(qū)進(jìn)行了逐戶的關(guān)于“生活習(xí)慣是否符合低碳排放標(biāo)準(zhǔn)”的調(diào)查．生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳家庭”，否則稱為“非低碳家庭”．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這兩類家庭占各自小區(qū)總戶數(shù)的比例P數(shù)據(jù)如下：
東城小區(qū)低碳家庭非低碳家庭西城小區(qū)低碳家庭非低碳家庭
比例P
1
2
1
2
比例P
4
5
1
5
（1）如果在東城、西城兩個(gè)小區(qū)內(nèi)各隨機(jī)選擇2個(gè)家庭，求這4個(gè)家庭中恰好有兩個(gè)家庭是“低碳家庭”的概率；
（2）該班同學(xué)在東城小區(qū)經(jīng)過大力宣傳節(jié)能減排的重要意義，每周“非低碳家庭”中有20%的家庭能加入到“低碳家庭”的行列中．宣傳兩周后隨機(jī)地從東城小區(qū)中任選5個(gè)家庭，記ξ表示5個(gè)家庭中“低碳家庭”的個(gè)數(shù)，求Eξ和Dξ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)y=x+
4
x
的定義域，值域，單調(diào)區(qū)間并畫出函數(shù)大致圖象．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等比數(shù)列{an}滿足：a2=4，公比q=2，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=
4
3
bn-
2
3
an+
2
3
，求通項(xiàng)bn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（理）已知中心在原點(diǎn)O，左焦點(diǎn)為F1（-1，0）的橢圓C1的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，F(xiàn)1到直線AB的距離為
7
7
|OB|．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）過點(diǎn)P（3，0）作直線l，使其交橢圓C1于R、S兩點(diǎn)，交直線x=1于Q點(diǎn)．問：是否存在這樣的直線l，使|PQ|是|PR|、|PS|的等比中項(xiàng)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．
（3）若橢圓C1方程為：
x2
m2
+
y2
n2
=1（m＞n＞0），橢圓C2方程為：
x2
m2
+
y2
n2
=λ（λ＞0，且λ≠1），則稱橢圓C2是橢圓C1的λ倍相似橢圓．已知C2是橢圓C1的3倍相似橢圓，若直線y=kx+b與兩橢圓C1、C2交于四點(diǎn)（依次為P、Q、R、S），且
PS
+
RS
=2
QS
，試研究動(dòng)點(diǎn)E（k，b）的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若集合A={y|y=tanx，0＜x≤
π
4
}，B={x|x2-x-2＜0}，則A∩B=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某學(xué)校共有教師300人，其中中級(jí)教師有192人，高級(jí)教師與初級(jí)教師的人數(shù)比為5：4．為了解教師專業(yè)發(fā)展需求，現(xiàn)采用分層抽樣方法進(jìn)行調(diào)查，在抽取的樣本中有中級(jí)教師64人，則該樣本中的高級(jí)教師人數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某設(shè)備零件的三視圖如圖所示，則這個(gè)零件的表面積為
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案