Question

如圖，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2AD=4．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在EF上，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCD．
（Ⅰ）當(dāng)EG=2時(shí)，求證：CG⊥平面BDG．
（Ⅱ）在線段EF上任意取一點(diǎn)，當(dāng)該點(diǎn)落在線段EG上的概率為

1

3

時(shí)，求二D-BG-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出AEGD為為正方形，DG⊥EF，從而得到DG⊥CG，由此利用勾股定理能證明CG⊥面BDG．
（Ⅱ）建立空間坐標(biāo)系E-xyz，利用向量法能求出此二面角平面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵EG=2，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，
AB=BC=2AD=4．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，
點(diǎn)G在EF上，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCD．
∴AEGD為為正方形，∴DG⊥EF，
∵平面AEFD⊥平面EBCF，∴DG⊥平面EBCF，∴DG⊥CG，
又∵EG=EB=2．∴BG=CG=2

2

，
由BG²+CG²=BC²，知BG⊥CG，BG∩DG=G，
∴CG⊥面BDG．…（6分）
（Ⅱ）解：點(diǎn)E、F分別是AB的中點(diǎn)，
∴EF∥BC，又∠ABC=90°，∴AE⊥EF，
∵平面AEFD⊥平面EBCF，
∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，
如圖建立空間坐標(biāo)系E-xyz．
由題意得B（2，0，0），D（0，2，2）C（2，4，0），G（0，1，0），
設(shè)平面DBG的法向量為

n1

=(x，y，z)，
∴

BG

=(-2，1，0)，

BD

=（-2，2，2），…（7分）
則 

n1 • BD =0 n1 • BG =0

，即

-2x+2y+2z=0 -2x+y=0

取x=1，則y=2，z=-1，∴

n

=(1，2，-1)…（9分）
取面BCG的一個(gè)法向量為

n2

=(0，0，1)．
則cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

|n1 || n2|

=-

6

6

…（10分）
∴此二面角平面角的余弦值為

6

6

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．