Question

設f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x+2）=-f（x），又當-1≤x≤1時，f（x）=x³，
（1）證明：直線x=1是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸；
（2）當x∈[1，5]時，求f（x）的解析式；
（3）求x∈R時的函數(shù)f（x）的解析式；
（4）若A={x||f（x）|＞a，x∈R}，A≠∅，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由題意用x-1替換式中的x，變形可得f（1+x）=f（1-x），可得對稱性；（2）當x∈[1，3]時，x-2∈[-1，1]，由題意可得當x∈[1，3]時的解析式，又可得f（x）的周期為4，可求當當x∈[3，5]時的解析式，綜合可得；（3）由函數(shù)的周期性結(jié)合（2）的解析式可得；（4）可得函數(shù)f（x）的值域為[-1，1]，易得所求．

解答： 解：（1）由題意用x-1替換式中的x可得f（x-1+2）=-f（x-1），
即f（x+1）=-f（x-1），由奇函數(shù)可得f（x+1）=-f（x-1）=f（1-x），
即對任意x均有f（1+x）=f（1-x），
∴直線x=1是函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸；
（2）當x∈[1，3]時，x-2∈[-1，1]，
∵當-1≤x≤1時，f（x）=x³，
∴f（x-2）=（x-2）³，
∴f（x）=f[（x-2）+2]=-f（x-2）=-（x-2）³，
∴當x∈[1，3]時，f（x）=-（x-2）³，
又可得f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x），
可得函數(shù)f（x）的周期為4，
∴當x∈[3，5]時，x-4∈[-1，1]，
∴f（x）=f（x-4）=（x-4）³，
∴當x∈[3，5]時，f（x）=（x-4）³，
∴當x∈[1，5]時，求f（x）=

-(x-2)3，x∈[1，3) (x-4)3，x∈[3，5]

；
（3）由（2）可知函數(shù)f（x）的周期為4，
當x∈[1，5]時，求f（x）=

-(x-2)3，x∈[1，3) (x-4)3，x∈[3，5]

，
∴當x∈R時，f（x）=

-(x-2-4k)3，x∈[1+4k，3+4k) (x-4-4k)3，x∈[3+4k，5+4k]

，k∈Z；
（4）由上可知，函數(shù)f（x）的值域為[-1，1]
要滿足題意需a≤0

點評：本題考查函數(shù)解析式的求解，涉及函數(shù)的對稱性和周期性，屬中檔題．