Question

已知直線y=mx與函數(shù)f(x)=

2-( 1 3 ) x   ，x≤0 1 2 x 2   +1，x＞0.

的圖象恰好有3個不同的公共點，則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：當(dāng)m≤0時，不滿足條件；當(dāng)m＞0時，可得直線y=mx和函數(shù)y=

1

2

x²+1（x＞0）的圖象有2個交點，即方程mx=

1

2

x²+1在（0，+∞）上有2個實數(shù)根根，可得

△=m2-2＞0 x1+x2=m＞0 x1•x2=2＞0

，由此解得m的范圍．

解答： 解：當(dāng)m≤0時，直線y=mx和函數(shù)f（x）的圖象只有一個交點；
當(dāng)m＞0時，直線y=mx和函數(shù)y=2-(

1

3

)x的圖象只有一個交點，
∴直線y=mx和函數(shù)y=

1

2

x²+1（x＞0）的圖象有2個交點，即方程mx=

1

2

x²+1在（0，+∞）上有2個實數(shù)根．
∴

△=m2-2＞0 x1+x2=m＞0 x1•x2=2＞0

，解得m≥

2

，
故答案：[

2

，+∞）．

點評：本題考查分段函數(shù)、曲線的切線斜率，滲透數(shù)形結(jié)合思想，屬于中等題．