Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+1（a∈R）．
（1）f（x）在R上有零點(diǎn)，求a的取值范圍；
（2）f（x）在[-1，0]上有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）討論a=0與a≠0兩種情況，利用一次與二次函數(shù)求解f（x）在R上有零點(diǎn)，得到a的取值范圍；
（2）f（x）在[-1，0]上有零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化成方程ax²-2x+1=0在[-1，0]內(nèi)有解，然后將a分離出來(lái)，利用換元法求出等式另一側(cè)的值域，從而求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）f（x）在R上有零點(diǎn)，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-2x+1，函數(shù)的零點(diǎn)為：

1

2

，滿足題意；
當(dāng)a≠0時(shí)，函數(shù)f（x）=ax²-2x+1有零點(diǎn)，則△=4-4a≥0，解得a≤1，
∴a的取值范圍：（-∞，1]；
（2）∵f（x）=ax²-2x+1在[-1，0]內(nèi)有零點(diǎn)
∴方程ax²-2x+1=0在[-1，0]內(nèi)有解
即a=

2x-1

x2

=

2

x

-

1

x2

 x∈[-1，0]，令

1

x

=t，
t∈（-∞，-1]則a=2t-t² t∈（-∞，-3]．
∴a∈（-∞，-3]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定，以及參數(shù)分離法的應(yīng)用和二次函數(shù)的值域，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和換元法的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．