Question

已知△ABC的三邊為a，b，c．
（1）若S_△ABC=

a2+b2-c2

4

，求∠C的大小；
（2）若tanA：tanB=a²：b²，判斷△ABC的形狀；
（3）若2cosAsinB=sinC，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,三角形的形狀判斷,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）根據(jù)余弦定理和三角形的面積公式化簡S_△ABC=

a2+b2-c2

4

，即可求出∠C的大��；
（2）根據(jù)正弦定理化簡條件tanA：tanB=a²：b²，即可判斷△ABC的形狀；
（3）利用兩角和差的正弦公式化簡條件2cosAsinB=sinC，即可判斷△ABC的形狀．

解答： 解：（1）∵S_△ABC=

a2+b2-c2

4

，
∴

1

2

absinC=

a2+b2-c2

4

，即sinC=

a2+b2-c2

2ab

=cosC，
∴tanC=1，即∠C=45°．
（2）若tanA：tanB=a²：b²，
則a²tanB=b²tanA，
∴由正弦定理得：sin²A•tanB=sin²B•tanA，
∵sinA•sinB＞0，
∴

sinA

cosB

=

sinB

cosA

，即sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，又A、B為三角形中的角，
∴2A=2B或2A=π-2B，
∴A=B或A+B=

π

2

，
∴三角形ABC為等腰三角形或者直角三角形．
（3）∵A+B+C=π，sinC=2cosAsinB，
∴sin（A+B）=2cosAsinB，
即sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB，
sinAcosB-cosAsinB=0，
∴sin（A-B）=0
∵A，B是三角形內(nèi)角，
∴A-B=0，即A=B，三角形是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的形狀判斷，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用和角、差角的正弦函數(shù)公式，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，要求熟練掌握相應(yīng)的公式．