Question

3．已知f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx-sinωxcosωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（ω＞0）的圖象與直線y=m（m＞0）相切，并且相鄰兩切點的橫坐標相差2π．
（Ⅰ）求ω和m的值；
（Ⅱ）△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若角A滿足f（A）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且a=4，b+c=6，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=cos（2ωx+$\frac{π}{6}$），由三角函數(shù)圖象和周期性可得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍可得A=$\frac{2π}{3}$，由余弦定理整體可得bc的值，代三角形的面積公式可得．

解答 解：（Ⅰ）由三角函數(shù)公式化簡可得：
f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx-sinωxcosωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx-$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=cos（2ωx+$\frac{π}{6}$），
由題意可得m=1，$\frac{2π}{2ω}$=2π，解得ω=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（A）=cos（A+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍可得A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，A=$\frac{2π}{3}$，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccosA，
代入已知數(shù)據(jù)可得16=36-2bc-2bc（-$\frac{1}{2}$），解得bc=20，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×20×\frac{\sqrt{3}}{2}$=5$\sqrt{3}$．

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及余弦定理和三角形的面積公式，屬中檔題．