Question

3．己知點(diǎn)H是xOy直角坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn)，A（$\sqrt{5}$，0），B（0，2），C（0，-1）是平面上的定點(diǎn)．
（1）$\frac{|HB|}{|HA|}$=2時(shí)，求H的軌跡方程；
（2）當(dāng)H在線段BC上移動(dòng)，求$\frac{|HB|}{|HA|}$的最大值及H點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)H（x，y），利用$\frac{|HB|}{|HA|}$=2，建立方程，化簡(jiǎn)得H的軌跡方程；
（2）$\frac{|HB|}{|HA|}$=$\frac{2-y}{\sqrt{5+{y}^{2}}}$，設(shè)2-y=t，則$\frac{|HB|}{|HA|}$=$\frac{2-y}{\sqrt{5+{y}^{2}}}$=$\frac{t}{\sqrt{{t}^{2}-4t+9}}$=$\frac{1}{\sqrt{（\frac{3}{t}-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{5}{9}}}$，故由二次函數(shù)的單調(diào)性求$\frac{|HB|}{|HA|}$的最大值及H點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)H（x，y），
∵$\frac{|HB|}{|HA|}$=2，
∴x²+（y-2）²=4（x-$\sqrt{5}$）²+4y²，
化簡(jiǎn)得3x²+3y²-8$\sqrt{5}$x+4y+16=0；
（2）$\frac{|HB|}{|HA|}$=$\frac{2-y}{\sqrt{5+{y}^{2}}}$，
設(shè)2-y=t，則$\frac{|HB|}{|HA|}$=$\frac{2-y}{\sqrt{5+{y}^{2}}}$=$\frac{t}{\sqrt{{t}^{2}-4t+9}}$=$\frac{1}{\sqrt{（\frac{3}{t}-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{5}{9}}}$，
故由二次函數(shù)的單調(diào)性，y=-1時(shí)，最大值為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，H的坐標(biāo)是（0，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查二次函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．