Question

13．設(shè)f（x）=log_ag（x）（a＞0，且a≠1）
（1）若f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3x-1），且滿足f（x）＞1，求x的取值范圍：
（2）若g（x）=ax²-x，是否存在實數(shù)a使得f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，3]上是增函數(shù)？如果存在，說明a可以取哪些值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將不等式轉(zhuǎn)化為log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3x-1）＞log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{2}$，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出0＜3x-1＜$\frac{1}{2}$，繼而得出答案．
（2）假設(shè)存在實數(shù)a使得f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，3]上是增函數(shù)，則①當(dāng)a＞1時，g（x）=ax²-x在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，3]為增函數(shù)，且g_min（x）＞0；
②當(dāng)0＜a＜1，g（x）=ax²-x在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，3]為減函數(shù)，且g_min（x）＞0，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性與對稱軸的分別列出不等式組解出即可．

解答 解：（1）∵f（x）＞1
∴l(xiāng)og${\;}_{\frac{1}{2}}$（3x-1）＞log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{1}{2}$，
∴0＜3x-1＜$\frac{1}{2}$，
解得：$\frac{1}{3}＜x＜\frac{1}{2}$．
（2）假設(shè)存在實數(shù)a使得f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，3]上是增函數(shù)，則
①當(dāng)a＞1時，g（x）=ax²-x在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，3]為增函數(shù)，且g（$\frac{1}{2}$）＞0．
∵g（x）=ax²-x圖象開口向上，對稱軸為x=$\frac{1}{2a}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}≤\frac{1}{2}}\\{\frac{a}{4}-\frac{1}{2}＞0}\end{array}\right.$，解得：a＞2．
②當(dāng)0＜a＜1，g（x）=ax²-x在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，3]為減函數(shù)，且g（3）＞0，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}≥3}\\{9a-3＞0}\end{array}\right.$，無解．
綜上所述，存在實數(shù)a使得f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，3]上是增函數(shù)，a的取值范圍是（2，+∞）．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，及其復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．注意函數(shù)的定義域．是中檔題．