(Ⅰ)設(shè)函數(shù)數(shù)學公式,證明:當x>0時,f(x)>0.
(Ⅱ)從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張,然后放回,用這種方式連續(xù)抽取20次,設(shè)抽到的20個號碼互不相同的概率為p,證明:數(shù)學公式

(Ⅰ)證明:∵f′(x)=,
∴當x>-1,時f′(x)≥0,
∴f(x)在(-1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),
∴當x>0時,f(x)>f(0)=0.
即當x>0時,f(x)>0.
(Ⅱ)從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張,然后放回,連續(xù)抽取20次,則抽得的20個號碼互不相同的概率為P=,要證P<
先證:P=,即證
即證99×98×…×81<(90)19
而99×81=(90+9)×(90-9)=902-92<902
98×82=(90+8)×(90-8)=902-82<902
91×89=(90+1)×(90-1)=902-12<902
∴99×98×…×81<(90)19
即P<
再證:<e-2,即證>e2,即證19ln>2,即證ln
由(Ⅰ)f(x)=ln(1+x)-,當x>0時,f(x)>0.
令x=,則ln(1+)-=ln(1+)->0,即ln
綜上有:P<
分析:(Ⅰ)欲證明當x>0時,f(x)>0,由于f(0)=0利用函數(shù)的單調(diào)性,只須證明f(x)在[0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù)即可.先對函數(shù)進行求導,根據(jù)導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞減即可得到答案.
(Ⅱ)先計算概率P=,再證明,即證明99×98×…×81<(90)19,最后證明<e-2,即證>e2,即證19ln>2,即證ln,而這個結(jié)論由(1)所得結(jié)論可得
點評:本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系等,考查運算求解能力,函數(shù)、導數(shù)、不等式證明及等可能事件的概率等知識.通過運用導數(shù)知識解決函數(shù)、不等式問題,考查了考生綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(04年廣東卷)(12分)

設(shè)函數(shù)

(I)證明:當時,

(II)點(0<x0<1)在曲線上,求曲線上在點處的切線與軸,軸正向所圍成的三角形面積的表達式。(用表示)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)函數(shù),證明:

(Ⅰ)對每個,存在唯一的,滿足;

(Ⅱ)對任意,由(Ⅰ)中構(gòu)成的數(shù)列滿足。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2013年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理科數(shù)學(安徽卷解析版) 題型:解答題

設(shè)函數(shù),證明:

(Ⅰ)對每個,存在唯一的,滿足;

(Ⅱ)對任意,由(Ⅰ)中構(gòu)成的數(shù)列滿足.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年江蘇省高三上學期期中考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

設(shè)函數(shù).

(1)證明:是奇函數(shù);

(2)求的單調(diào)區(qū)間;

(3)寫出函數(shù)圖象的一個對稱中心.

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2013屆北京西城(南區(qū))高二下學期期末考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

(Ⅰ)設(shè)函數(shù),證明:當時,;

(Ⅱ)從編號1到100的100張卡片中每次隨機抽取一張,然后放回,用這種方式連續(xù)抽取20次,設(shè)抽得的20個號碼互不相同的概率為。證明:。

注:可用(Ⅰ)的結(jié)論。

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案