Question

10．在極坐標(biāo)系內(nèi)，已知A（2，$\frac{π}{4}$），B（2，$\frac{5π}{4}$）
（1）求|AB|的長(zhǎng)；
（2）若A，B是等邊三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，求另一個(gè)頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先分別求出A點(diǎn)、B點(diǎn)的直角坐標(biāo)，由此能求出|AB|的長(zhǎng)．
（2）設(shè)C的直角坐標(biāo)為C（a，b），由直線垂直的性質(zhì)和兩點(diǎn)點(diǎn)距離公式列出方程組求出B點(diǎn)直角坐標(biāo)，由此能求出C點(diǎn)的極坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵在極坐標(biāo)系內(nèi)，A（2，$\frac{π}{4}$），
∴x=2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$，y=2sin$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$，
∴A點(diǎn)直角坐標(biāo)為A（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），
∵在極坐標(biāo)系內(nèi)，B（2，$\frac{5π}{4}$），
∴$x=2cos\frac{5π}{4}$=-$\sqrt{2}$，y=2sin$\frac{5π}{4}$=-$\sqrt{2}$，
∴B點(diǎn)直角坐標(biāo)B（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
∴|AB|=$\sqrt{（\sqrt{2}+\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}+\sqrt{2}）^{2}}$=4．
（2）∵A（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），B（-$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），
∴k_AB=1，∵A，B是等邊三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)，
∴k_OC=-1，
設(shè)C的直角坐標(biāo)為C（a，b），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}=-1}\\{（a-\sqrt{2}）^{2}+（b-\sqrt{2}）^{2}=（2\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{6}}\\{b=-\sqrt{6}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\sqrt{6}}\\{b=\sqrt{6}}\end{array}\right.$，
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{6}}\\{b=-\sqrt{6}}\end{array}\right.$時(shí)，$ρ=\sqrt{6+6}=2\sqrt{3}$，θ=$\frac{7π}{4}$，C點(diǎn)極坐標(biāo)為：（2$\sqrt{3}$，$\frac{7π}{4}$）
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{a=-\sqrt{6}}\\{b=\sqrt{6}}\end{array}\right.$時(shí)，$ρ=\sqrt{6+6}=2\sqrt{3}$，$θ=\frac{3π}{4}$，C點(diǎn)的極坐標(biāo)為：（2$\sqrt{3}$，$\frac{3π}{4}$）．
∴C點(diǎn)的極坐標(biāo)為：（2$\sqrt{3}$，$\frac{3π}{4}$），（2$\sqrt{3}$，$\frac{7π}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段長(zhǎng)的求法，考查點(diǎn)的極坐標(biāo)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化及直線垂直的性質(zhì)和兩點(diǎn)點(diǎn)距離公式的合理運(yùn)用．