Question

8．已知函數f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²+x，g（x）=$\frac{1}{3}$a²x³+$\frac{1}{2}$bx²+x，其中a＞0，若函數g（x）存在兩個極值點x₁，x₂，且點x₁＜x₂．
（1）求證：函數f（x）的導函數f′（x）在（-1，1）上是單調函數；
（2）當a＞1時，函數f（x）也存在兩個極值點x₃，x₄，且x₃＜x₄，是判斷x₁，x₂，x₃，x₄的大小關系．

Answer 1

分析 （1）g′（x）=0有兩個不等的實根，得它的根的判別式△=b²-4a²＞0，再兩次求導f″（x），得f″（-1）f″（1）＞0，說明一次函數f″（x）=2ax+b在區(qū)間（-1，1）的符號均為正數，或均為負數，得出結論；
（2）構造兩個函數：F（x）=f′（x）-1，G（x）=g′（x）-1，通過討論它們的零點，得出它們的根之間的大小關系．然后通過分類討論和在同一坐標系里作出F（x）和G（x）的圖象，然后將兩個圖象向上平移一個單位，可得x₁，x₂，x₃，x₄的大小關系，最后綜合可得出正確的大小關系．

解答 解：（1）∵g（x）=$\frac{1}{3}$a²x³+$\frac{1}{2}$bx²+x，
∴g′（x）=a²x²+bx+1，
∵函數g（x）存在兩個極值點x₁，x₂，且點x₁＜x₂，a＞0，
∴g′（x）=0有兩個不等的實根，
∴△=b²-4a²＞0，
∵f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{2}$bx²+x，
∴f′（x）=ax²+bx+1，
∴f″（x）=2ax+b，
∴f″（1）f″（-1）=（b+2a）（b-2a）=b²-4a²＞0，
∴導函數f′（x）在（-1，1）上是單調函數；
（2）記函數F（x）=f′（x）-1=ax²+bx，G（x）=g′（x）-1=a²x²+bx
兩個函數有公共的零點x=0，此外F（x）還有一個零點x=-$\frac{a}$，G（x）還有一個零點x=-$\frac{{a}^{2}}$，
①因為a＞1，當b＜0時由（1）得必定有0＜-$\frac{{a}^{2}}$＜-$\frac{a}$，
在同一坐標系里作出F（x）和G（x）的圖象：

將此兩個圖象都上移一個單位，可得函數f′（x）和g′（x）的圖象
所以由圖象可得x₁＜x₃＜x₂＜x₄
②當b＞0時，同理可得四個根的大小關系：x₁＜x₃＜x₂＜x₄
綜上所述，可判斷x₁，x₂，x₃，x₄的大小關系為：x₁＜x₃＜x₂＜x₄．

點評 本題以導數和函數的極值點為載體，考查了二次函數的圖象與性質，所含字母參數較多，屬于難題．采用數形結合與分類討論的思想解題，是本題解決的關鍵所在．