Question

1．已知橢圓C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$的右焦點為F，右頂點為A，離心率為e，點P（m，0）（m＞4）滿足條件$\frac{|FA|}{|AP|}=e$．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）設(shè)過點F的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，記△PMF和△PNF的面積分別為S₁，S₂，求證：$\frac{S_1}{S_2}=\frac{|PM|}{|PN|}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，|FA|=2，|AP|=m-4，利用$\frac{|FA|}{|AP|}=e$求m的值；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)出直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理證明∠MPF=∠NPF，求出面積，即可得出結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：因為橢圓C的方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$，
所以a=4，$b=2\sqrt{3}$，$c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}=2$，…（2分）
則$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，|FA|=2，|AP|=m-4．…（3分）
因為$\frac{|FA|}{|AP|}=\frac{2}{m-4}=\frac{1}{2}$，
所以m=8．…（5分）
（Ⅱ）證明：若直線l的斜率不存在，則有S₁=S₂，|PM|=|PN|，符合題意．…（6分）
若直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為y=k（x-2），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1}\\{y=k（x-2）}\end{array}}\right.$
得（4k²+3）x²-16k²x+16k²-48=0，…（7分）
可知△＞0恒成立，且 ${x_1}+{x_2}=\frac{{16{k^2}}}{{4{k^2}+3}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{16{k^2}-48}}{{4{k^2}+3}}$．…（8分）
因為 ${k_{PM}}+{k_{PN}}=\frac{y_1}{{{x_1}-8}}+\frac{y_2}{{{x_2}-8}}=\frac{{k（{x_1}-2）}}{{{x_1}-8}}+\frac{{k（{x_2}-2）}}{{{x_2}-8}}$…（10分）
=$\frac{{k（{x_1}-2）（{x_2}-8）+k（{x_2}-2）（{x_1}-8）}}{{（{x_1}-8）（{x_2}-8）}}$=$\frac{{2k{x_1}{x_2}-10k（{x_1}+{x_2}）+32k}}{{（{x_1}-8）（{x_2}-8）}}$=$\frac{{2k•\frac{{16{k^2}-48}}{{4{k^2}+3}}-10k•\frac{{16{k^2}}}{{4{k^2}+3}}+32k}}{{（{x_1}-8）（{x_2}-8）}}=0$，
所以∠MPF=∠NPF．…（12分）
因為△PMF和△PNF的面積分別為${S_1}=\frac{1}{2}|PF|•|PM|•sin∠MPF$，
${S_2}=\frac{1}{2}|PF|•|PN|•sin∠NPF$，…（13分）
所以$\frac{S_1}{S_2}=\frac{|PM|}{|PN|}$．…（14分）

點評 本題考查橢圓方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，三角形面積公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．