Question

6．已知，函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（3-ax），函數(shù)g（x）=x²-2x+m．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求x∈[0，1]時(shí)f（x）的最大值；
（2）若g（x）＜0在x∈（-1，2）恒成立，求m的取值范圍；
（3）當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)$h（x）={（\frac{1}{2}）^{f（x）}}-3g（x）$在x∈（0，1）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，可得f（x）在x∈[0，1]單調(diào)遞增，計(jì)算即可得到最大值；
（2）由題意可得x²-2x+m＜0在x∈（-1，2）恒成立，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到所求范圍；
（3）由題意可得x²-x+m-1=0在x∈（0，1）有兩個(gè)不同的解，設(shè)d（x）=x²-x+m-1，運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和二次方程的分布，可得判別式大于0，d（0）＞0，d（1）＞0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）∵a=1，f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（3-x）$在x∈[0，1]單調(diào)遞增，
∴f_max（x）=f（1）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}2$=-1；
（2）g（x）＜0在x∈（-1，2）恒成立，
∴x²-2x+m＜0在x∈（-1，2）恒成立，
∴m＜-x²+2x=-（x-1）²+1，即有-x²+2x∈（-3，1]，
∴m≤-3；
（3）當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)h（x）=3-3x-3x²+6x-3m
在x∈（0，1）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．
∴3-3x-3x²+6x-3m=0，
∴x²-x+m-1=0在x∈（0，1）有兩個(gè)不同的解，
設(shè)d（x）=x²-x+m-1，對(duì)稱軸為x=$\frac{1}{2}$∈（0，1），
即有$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4（m-1）＞0}\\{d（0）=m-1＞0}\\{d（1）=m-1＞0}\end{array}\right.$，解得1＜m＜$\frac{5}{4}$．
故m的取值范圍是（1，$\frac{5}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用和不等式恒成立問(wèn)題的解法，同時(shí)考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．