Question

（本小題滿分13分）
對(duì)于各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列，如果(=1，2，3，…)為完全平方數(shù)，則稱數(shù)
列具有“性質(zhì)”。
不論數(shù)列是否具有“性質(zhì)”，如果存在與不是同一數(shù)列的，且同
時(shí)滿足下面兩個(gè)條件：①是的一個(gè)排列；②數(shù)列具有“性質(zhì)”，則稱數(shù)列具有“變換性質(zhì)”。
（I）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，證明數(shù)列具有“性質(zhì)”；
（II）試判斷數(shù)列1，2，3，4，5和數(shù)列1，2，3，…，11是否具有“變換性質(zhì)”，具有此性質(zhì)的數(shù)列請(qǐng)寫出相應(yīng)的數(shù)列，不具此性質(zhì)的說明理由；
（III）對(duì)于有限項(xiàng)數(shù)列：1，2，3，…，，某人已經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，
數(shù)列具有“變換性質(zhì)”，試證明：當(dāng)”時(shí)，數(shù)列也具有“變換性質(zhì)”。

Answer 1

（I）證明見解析。
（II）數(shù)列1，2，3，4，5具有“變換P性質(zhì)”，
數(shù)列為3，2，1，5，4。
數(shù)列1，2，3，…，11不具有“變換P性質(zhì)”
因?yàn)?1，4都只有5的和才能構(gòu)成完全平方數(shù)
所以數(shù)列1，2，3，…，11不具有“變換P性質(zhì)”
（III）證明見解析。

（I）當(dāng)時(shí)，                                      …………1分
    …………2分
又。                                             …………3分
所以是完全平方數(shù)，
數(shù)列具有“P性質(zhì)”                                                                   …………4分
（II）數(shù)列1，2，3，4，5具有“變換P性質(zhì)”，                              …………5分
數(shù)列為3，2，1，5，4                                                            …………6分
數(shù)列1，2，3，…，11不具有“變換P性質(zhì)”     …………7分
因?yàn)?1，4都只有5的和才能構(gòu)成完全平方數(shù)
所以數(shù)列1，2，3，…，11不具有“變換P性質(zhì)”                             …………8分
（III）設(shè)
注意到
令
由于，
所以
又

所以
即                                                                              …………10分
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，數(shù)列具有“變換P性質(zhì)”
所以1，2，…，4m+4-j-1可以排列成
使得都是平方數(shù)                                                  …………11分
另外，可以按相反順序排列，
即排列為
使得
                              …………12分
所以1，2，可以排列成

滿足都是平方數(shù).
即當(dāng)時(shí)，數(shù)列A也具有“變換P性質(zhì)”…………13分