Question

14．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，過E（x₀，0）的直線l與橢圓C交于A，B兩點，若$\frac{1}{|EA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|EB{|}^{2}}$為定值m，則x₀=$\sqrt{3}$；m=2．

Answer 1

分析 設(shè)直線AB的參數(shù)方程，可得A，B的坐標(biāo)，把直線AB的方程代入橢圓的方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，可得$\frac{1}{|EA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|EB{|}^{2}}$=$\frac{1}{{{t}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{t}_{2}}^{2}}$=$\frac{2{{x}_{0}}^{2}+12+（24-8{{x}_{0}}^{2}）si{n}^{2}α}{（{{x}_{0}}^{2}-6）^{2}}$，由于$\frac{1}{|EA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|EB{|}^{2}}$為定值m，因此24-8x₀²=0，解出即可．

解答 解：設(shè)直線AB的方程為$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$，
A（x₀+t₁cosα，t₁sinα），B（x₀+t₂cosα，t₂sinα）．
把直線AB的方程代入橢圓的方程x²+3y²=6，
化為（1+2sin²α）t²+2x₀tcosα+x₀²-6=0．
∴t₁+t₂=-$\frac{2{x}_{0}cosα}{1+2si{n}^{2}α}$，t₁t₂=$\frac{{{x}_{0}}^{2}-6}{1+2si{n}^{2}α}$．
∴t₁²+t₂²=（t₁+t₂）²-2t₁t₂=$\frac{2{{x}_{0}}^{2}+12+（24-8{{x}_{0}}^{2}）si{n}^{2}α}{（1+2si{n}^{2}α）^{2}}$，
∴$\frac{1}{|EA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|EB{|}^{2}}$=$\frac{1}{{{t}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{t}_{2}}^{2}}$=$\frac{2{{x}_{0}}^{2}+12+（24-8{{x}_{0}}^{2}）si{n}^{2}α}{（{{x}_{0}}^{2}-6）^{2}}$，
∵$\frac{1}{|EA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|EB{|}^{2}}$為定值，
∴24-8x₀²=0，又x₀＞0．
解得x₀=$\sqrt{3}$，m=$\frac{6+12}{9}$=2．
故答案為：$\sqrt{3}$，2．

點評 本題考查了直線與橢圓相交定值問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、直線的參數(shù)方程及其參數(shù)的意義，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．