Question

12．已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意實(shí)數(shù)a，b∈R滿足f（a•b）=af（b）+bf（a），f（2）=2，a_n=$\frac{f（{2}^{n}）}{n}$（∈N⁺），b_n=$\frac{f（{2}^{n}）}{{2}^{n}}$（n∈N⁺）
考察下列結(jié)論：
①f（0）=f（1）；②f（x）為偶函數(shù)；
③數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；④數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列．
其中正確的結(jié)論是（　�。�

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①②④
• D． ①③④

Answer 1

分析 令x=y=0得f（0）=0，令x=y=1得f（1）=0判斷①；用特例：f（-2）=f（-1×2）=-f（2）+2f（-1）=-2≠f（2）判斷②；利用題意得f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）=2f（2^n-1）+2ⁿ，求出a_n和b_n，由等差、等比數(shù)列的定義判斷③④．

解答 解：①、取a=b=0，可得f（0）=0，取a=b=1，可得f（1）=0，
∴f（0）=f（1），即①正確，
②、∵f（1）=f[（-1）•（-1）]=-2f（-1），
∴f（-1）=0，f（-2）=f（-1×2）=-f（2）+2f（-1）=-2≠f（2），
故f（x）不是偶函數(shù)，②錯；
又∵f（ab）=af（b）+bf（a），
∴f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）=2f（2^n-1）+2ⁿ=…=n•2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ，b_n=n，
則數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，
∴①③④都正確，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列與抽象函數(shù)的綜合運(yùn)用，考查抽象函數(shù)的奇偶性，賦值法，等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，屬于中檔題．