Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x滿足f（x+a）-f（x）=$\sqrt{3}$[1+f（x）•f（x+a）]，討論f（x）的周期性．

Answer 1

分析 由已知條件，可得f（x+a），兩次將x換為x+a，化簡變形，即可得到f（x+3a）=f（x），由周期函數(shù)的定義，即可得到所求周期．

解答 解：f（x+a）-f（x）=$\sqrt{3}$[1+f（x）•f（x+a）]，
可得f（x+a）=$\frac{\sqrt{3}+f（x）}{1-\sqrt{3}f（x）}$，
將x換為x+a，可得f（x+2a）=$\frac{\sqrt{3}+f（x+a）}{1-\sqrt{3}f（x+a）}$=$\frac{f（x）-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}f（x）}$，
將x換為x+a，可得f（x+3a）=$\frac{f（x+a）-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}f（x+a）}$，
代入f（x+a）=$\frac{\sqrt{3}+f（x）}{1-\sqrt{3}f（x）}$，化簡可得f（x+3a）=f（x），
由周期函數(shù)的定義可得f（x）的一個周期為3a．

點評 本題考查函數(shù)的周期的求法，注意運用賦值法，將x換為x+a，是解題的關(guān)鍵，考查化簡能力，屬于中檔題．