Question

7．經(jīng)過(guò)橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦點(diǎn)的直線l，交拋物線y²=4x于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C，則$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=-5．

Answer 1

分析 由拋物線y²=4x與過(guò)其焦點(diǎn)（1，0）的直線方程聯(lián)立，消去y整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），C（-x₁，y₁），$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=-x₁•x₂+y₁•y₂，由韋達(dá)定理可以求得答案．

解答 解：由題意知，橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦點(diǎn)為（1，0），即為
拋物線y²=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
∴直線AB的方程設(shè)為y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（-x₁，y₁），
則x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
y₁•y₂=k（x₁-1）•k（x₂-1）=k²[x₁•x₂-（x₁+x₂）+1]=k²（2-2-$\frac{4}{{k}^{2}}$）=-4，
∴$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OC}$=-x₁•x₂+y₁•y₂=-1-4=-5，
故答案為：-5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是聯(lián)立拋物線方程與過(guò)其焦點(diǎn)的直線方程，利用韋達(dá)定理予以解決，屬于基礎(chǔ)題．