Question

11．已知函數(shù)f（x）=|x-2|，g（x）=m|x|-2，（m∈R）．
（1）解關(guān)于x的不等式f（x）＞3；
（2若不等式f（x）≥g（x）對(duì)任意x∈R恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）＞3，得|x-2|＞3，由此求得x的范圍．
（2）由題意可得|x-2|≥m|x|-2 恒成立．當(dāng)x=0時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)x≠0時(shí)，問題等價(jià)于m≤$\frac{|x-2|+2}{|x|}$對(duì)任意非零實(shí)數(shù)恒成立，再利用絕對(duì)值三角不等式求得m的范圍．

解答 解：（1）由f（x）＞3，得|x-2|＞3，可得x-2＞3，或 x-2＜-3．
求得x＜-1，或x＞5，
故原不等式的解集為{x|x＜-1，或x＞5}．
（2）由f（x）≥g（x），得|x-2|≥m|x|-2 恒成立．
當(dāng)x=0時(shí)，不等式|x-2|≥m|x|-2 恒成立；
當(dāng)x≠0時(shí)，問題等價(jià)于m≤$\frac{|x-2|+2}{|x|}$對(duì)任意非零實(shí)數(shù)恒成立．
∵$\frac{|x-2|+2}{|x|}$≥$\frac{|x-2+2|}{|x|}$=1，∴m≤1，即m的取值范圍是（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．