Question

已知a＞0且a≠1，函數(shù)f （x）=

(a-1)x+3a-4，x≤0 ax，x＞0

，滿足對任意實(shí)數(shù)x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x2-x1

＜0成立，則a的取值范圍是（　　）

• A、（0，1）
• B、（1，+∞）
• C、（1，

  5

  3

  ]
• D、[

  5

  3

  ，2）

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可知f（x）在R上為增函數(shù)，對各段考慮即有a-1＞0，即a＞1，①a＞1，②注意x=0，有（a-1）×0+3a-4≤a⁰，即有a≤

5

3

③，求出三個(gè)的交集即可．

解答： 解：由于f（x）=

(a-1)x+3a-4，x≤0 ax，x＞0

，
又對任意實(shí)數(shù)x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，
則f（x）在R上為增函數(shù)．
當(dāng)x≤0時(shí)，函數(shù)為增，則有a-1＞0，即a＞1，①
當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)為增，則有a＞1，②
由在R上為增函數(shù)，則（a-1）×0+3a-4≤a⁰，即有a≤

5

3

③，
由①②③可得a的取值范圍為：1＜a≤

5

3

．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查分段函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，注意各段的單調(diào)性，以及分界點(diǎn)的情況，屬于易錯(cuò)題和中檔題．