Question

1．F₁、F₂為雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)，A、B分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，以F₁F₂為直徑的圓與雙曲線的漸近線于B，C兩點(diǎn)，若△ABC的面積為$\frac{1}{2}$c²，則該雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用△ABC的面積為$\frac{1}{2}$c²，求出雙曲線的漸近線的傾斜角，即可求出該雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)雙曲線的漸近線的傾斜角為α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），
由題意，△ABC的面積為$\frac{1}{2}$c²，則$\frac{1}{2}$c²sin2α=$\frac{1}{2}$c²，
∴α=45°，
∴b=a，
∴c=$\sqrt{2}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率，考查三角形面積的計算，求出b=a是關(guān)鍵．