11.下列命題中,正確的有①③④
①△ABC中,A>B的充分必要條件是sinA>sinB;
②已知向量$\overrightarrow a=(λ,2λ),\overrightarrow b=(3λ,2)$,如果$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為鈍角,則λ的取值范圍是$λ<-\frac{4}{3}$或λ>0;
③若函數(shù)f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值,則c=6;
④在銳角△ABC中,BC=1,B=2A,則AC的取值范圍為$(\sqrt{2},\sqrt{3})$.

分析 ①△ABC中,A>B?a>b,由正弦定理可得:$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$,于是sinA>sinB,即可判斷出正誤;
②如果$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為鈍角,則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$<0,且不能反向共線,可得3λ2+4λ<0,且6λ2-2λ≠0,解出即可判斷出正誤;
③f′(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)(3x-c),由于函數(shù)f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值,可得f′(2)=0,解得c=2或6,再進一步判斷出即可;
④在銳角△ABC中,BC=1,B=2A,若B是最大角,則$\frac{π}{2}>$2A>C=π-3A,可得$\frac{π}{5}<A<\frac{π}{4}$,由正弦定理可得:$\frac{1}{sinA}=\frac{AC}{sin2A}$,AC=2cosA.同理若C是最大角,則$\frac{π}{2}>π-3A>2A$>0,可得$\frac{π}{6}<A<\frac{π}{5}$,即可判斷出真假.

解答 解:①△ABC中,A>B?a>b,由正弦定理可得:$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$,于是sinA>sinB,正確;
②如果$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為鈍角,則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$<0,且不能反向共線,∴3λ2+4λ<0,且6λ2-2λ≠0,解得$-\frac{4}{3}<λ<0$,因此不正確;
③f′(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)(3x-c),∵函數(shù)f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值,∴f′(2)=(2-c)(6-c)=0,解得c=2或6,當c=2時,函數(shù)f(x)在x=$\frac{2}{3}$處取得極大值,舍去;當c=6時,函數(shù)f(x)在x=2處取得極大值,正確.
④在銳角△ABC中,BC=1,B=2A,若B是最大角,則$\frac{π}{2}>$2A>C=π-3A,可得$\frac{π}{5}<A<\frac{π}{4}$,由正弦定理可得:$\frac{1}{sinA}=\frac{AC}{sin2A}$,AC=2cosA>$2sin\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$.若C是最大角,則$\frac{π}{2}>π-3A>2A$>0,可得$\frac{π}{6}<A<\frac{π}{5}$,由正弦定理可得:$\frac{1}{sinA}=\frac{AC}{sin2A}$,AC=2cosA$<2cos\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$,綜上可得:AC的取值范圍為$(\sqrt{2},\sqrt{3})$.故正確.
綜上可得:正確的命題為①③④.
故答案為:①③④.

點評 本題考查了簡易邏輯的判定方法、正弦定理的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、向量夾角公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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