Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+c，g（x）=ae^x的圖象的一個公共點為P（2，t），且曲線y=f（x），y=g（x）在P點處有相同的切線，若函數(shù)f（x）-g（x）的負零點在區(qū)間（k，k+1）（k∈Z）內(nèi)，則k=

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題意知f′（2）=g′（2），即4=ae²①，f（2）=g（2），即4+c=ae²②，聯(lián)立①②可求a，c，從而得f（x）-g（x），利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)在（-∞，0）上的單調(diào)性，由零點判定定理可知零點的存在的區(qū)間，由此可求k．

解答： 解：f′（x）=2x，g′（x）=ae^x，
∵曲線y=f（x），y=g（x）在P（2，t）點處有相同的切線，
∴f′（2）=g′（2），即4=ae²，①
又P為兩曲線的公共點，
∴f（2）=g（2），即4+c=ae²，②
由①②解得c=0，a=

4

e2

，
令h（x）=f（x）-g（x）=x²-

4

e2

•e^x=x²-4e^x-2，
則h′（x）=2x-4e^x-2，
當x≤0時，h′（x）＜0，∴h（x）在（-∞，0）上遞減，
又h（-1）=1-4e^-3＞0，h（0）=-4e^-2＜0，
∴h（x）在（-1，0）內(nèi)有唯一零點，
由題意知（k，k+1）=（-1，0），
∴k=-1．
故答案為：-1．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，考查函數(shù)的零點判定定理．曲線上某點處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)值，是中檔題