Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為2的正三角形，SA=SB=SC=4，平面DEFH分別與三棱錐S-ABC的四條棱AB、BC、SC、SA交于D、E、F、H，若直線SB∥平面DEFH，直線AC∥平面DEFH，則平面DEFH與平面SAC所成的二面角（銳角）的余弦值等于

 

．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：取AC的中點O，連結連結OB，交DE于N，連結SO，交HF于M，由已知條件推導出∠NMO為平面DEFH與平面SAC所成角的平面角，由此能求出結果．

解答： 解：∵D、E、F、H分別是AB、BC、SA、SC的中點，
∴DE∥AC，FH∥AC，DH∥SB．EF∥SB，
則四邊形DEFH是平行四邊形，
∵SA=SB=SC=4，△ABC是邊長為2的正三角形，
且HD=EF=

1

2

SB=2，DE=HF=

1

2

AC=1，
取AC的中點O，連結OB，交DE于N，連結SO，交HF于M，
∵SA=SC=SB=4，AB=BC=AC=2，
∴AC⊥SO，AC⊥OB，
∵S0∩OB=O，
∴AO⊥平面SOB，
∵HF∥AO，∴HF⊥平面MON，
∴MO⊥HF，MN⊥HF，
∵平面DEFH∩平面SAC=HF，
∴∠NMO為平面DEFH與平面SAC所成角的平面角，
∵MN=

1

2

SB=2，MO=

1

2

SO=

1

2

16-1

=

15

2

，
NO=

1

2

OB=

1

2

4-1

=

3

2

，
∴cos∠NMO=

15 4 +4- 3 4

2× 15 2 ×2

=

7 15

30

．
故答案為：

7 15

30

．

點評：本題考查二面角的余弦值值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．