Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=3a_n+1，證明{a n +

1

2

}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：通過數(shù)列的遞推式，把遞推式變形，變?yōu)槭煜さ牡缺葦?shù)列，求出新數(shù)列的通項(xiàng)公式后再求原數(shù)列的通項(xiàng)．

解答： 證明：由a_n+1=3a_n+1，得：a_n+1+

1

2

=3（a_n+

1

2

），
可得：

an+1+ 1 2

an+ 1 2

=3．
∵a₁+

1

2

=

3

2

≠0，
∴{a n +

1

2

}是以

3

2

為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+

1

2

=

3

2

•3^n-1=

1

2

•3ⁿ，
∴a_n=

1

2

×3ⁿ-

1

2

．
故答案為：

1

2

（3ⁿ-1）．

點(diǎn)評：本題考查了給出遞推式求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，對于a_n+1=pa_n+q型的遞推式，一般能夠造成{a_n+x}型的等比數(shù)列，屬常見題．