Question

已知定義R在的函數(shù)f（x）=x|x-a|，其中a∈R，有如下判斷，
①無論a取任意實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）的圖象均過原點(diǎn)；
②若f（x）是奇函數(shù)，則a=0；
③當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，2]上的解析式是f（x）=-x²+ax；
④當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）有最大值

1

4

；
⑤當(dāng)a=2時(shí)，若函數(shù)y=f（x）-m有3個零點(diǎn)，則0＜m＜1．
其中正確的是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶函數(shù)圖象的對稱性,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)五個小題的內(nèi)容可知，該題分別考查了函數(shù)的解析式、奇偶性、最值、零點(diǎn)等概念和性質(zhì)，可分別用相關(guān)概念和性質(zhì)求解，注意數(shù)形結(jié)合．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x|x-a|，其中a∈R，
對于①，f（0）=0恒成立，∴函數(shù)f（x）的圖象均過原點(diǎn)，故①正確；
對于②，若f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x）恒成立，即-x|-x-a|=-x|x-a|，即x|x+a|=x|x-a|恒成立，∴-a=a，∴a=0，故②正確；
對于③，若a＞2，當(dāng)x≤2時(shí)，則f（x）=x|x-a|=-x（x-a）=-x²+ax，故③正確；
對于④，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x|x-1|，取x=2，則f（2）=2＞

1

4

，故④不正確；
對于⑤，當(dāng)a=2時(shí)，y=f（x）-m=x|x-2|-m，
當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=x²-2x-m=（x-1）²-m-1，此時(shí)該函數(shù)在[2，+∞）上是增函數(shù)，∴當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）≥f（2）=-m；
當(dāng)x＜2時(shí)，f（x）=-（x-1）²+1-m，此時(shí)該函數(shù)在（-∞，1）上是增函數(shù)，在[1，2）上是減函數(shù)，∴當(dāng)x＜2時(shí)，f（x）≤f（1）=1-m；
結(jié)合圖象可知，要使原函數(shù)有三個零點(diǎn)只需

-m＜0 1-m＞0

，解得0＜m＜1，故⑤正確．
故答案為：①②③⑤

點(diǎn)評：實(shí)際上，這道題經(jīng)過去絕對值符號后，主要是考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對于二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，應(yīng)引起足夠的重視．