Question

已知定義R在的函數f（x）=x|x-a|，其中a∈R，有如下判斷，
①無論a取任意實數，函數f（x）的圖象均過原點；
②若f（x）是奇函數，則a=0；
③當a＞2時，函數f（x）在區(qū)間（-∞，2]上的解析式是f（x）=-x²+ax；
④當a=1時，函數f（x）有最大值

1

4

；
⑤當a=2時，若函數y=f（x）-m有3個零點，則0＜m＜1．
其中正確的是

 

．

Answer 1

考點：奇偶函數圖象的對稱性,函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用

分析：根據五個小題的內容可知，該題分別考查了函數的解析式、奇偶性、最值、零點等概念和性質，可分別用相關概念和性質求解，注意數形結合．

解答： 解：∵函數f（x）=x|x-a|，其中a∈R，
對于①，f（0）=0恒成立，∴函數f（x）的圖象均過原點，故①正確；
對于②，若f（x）是奇函數，則f（-x）=-f（x）恒成立，即-x|-x-a|=-x|x-a|，即x|x+a|=x|x-a|恒成立，∴-a=a，∴a=0，故②正確；
對于③，若a＞2，當x≤2時，則f（x）=x|x-a|=-x（x-a）=-x²+ax，故③正確；
對于④，當a=1時，f（x）=x|x-1|，取x=2，則f（2）=2＞

1

4

，故④不正確；
對于⑤，當a=2時，y=f（x）-m=x|x-2|-m，
當x≥2時，f（x）=x²-2x-m=（x-1）²-m-1，此時該函數在[2，+∞）上是增函數，∴當x≥2時，f（x）≥f（2）=-m；
當x＜2時，f（x）=-（x-1）²+1-m，此時該函數在（-∞，1）上是增函數，在[1，2）上是減函數，∴當x＜2時，f（x）≤f（1）=1-m；
結合圖象可知，要使原函數有三個零點只需

-m＜0 1-m＞0

，解得0＜m＜1，故⑤正確．
故答案為：①②③⑤

點評：實際上，這道題經過去絕對值符號后，主要是考查了二次函數的圖象與性質，對于二次函數的圖象和性質是高考的重點與熱點，應引起足夠的重視．