Question

7．已知等邊三角形ABC的邊長為2，點D，E分別為AB，BC的中點，且AE∩CD=F，點H為邊AC上的一點，且$\overrightarrow{AH}$=$λ\overrightarrow{AC}$（0＜λ＜1），當$\overrightarrow{HF}$•$\overrightarrow{HD}$=1時，實數(shù)λ=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由題意把$\overrightarrow{HF}$、$\overrightarrow{HD}$用向量$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$表示，展開數(shù)量積可得關于λ的方程，則答案可求．

解答 解：如圖，

由題意可知，F(xiàn)為三角形ABC的重心，
$\overrightarrow{HF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AE}-λ\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$$-λ\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+（\frac{1}{3}-λ）\overrightarrow{AC}$，
$\overrightarrow{HD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-λ\overrightarrow{AC}$，
由$\overrightarrow{HF}$•$\overrightarrow{HD}$=$[\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+（\frac{1}{3}-λ）\overrightarrow{AC}]•（\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-λ\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{6}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}-λ（\frac{1}{3}-λ）|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$$+（\frac{1}{6}-\frac{5}{6}λ）\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=1，得
$\frac{1}{6}×4-4λ（\frac{1}{3}-λ）+$$（\frac{1}{6}-\frac{5}{6}λ）×2=1$，整理得：4λ²-3λ=0，
∵0＜λ＜1，∴$λ=\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查了平面向量的加減法，是中檔題．