【題目】如圖所示，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，為中點(diǎn)．

（1）求證：⊥平面；

（2）求銳二面角的余弦值．

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，得，所以平面，取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)?/span>軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出，，，利用向量證得，，從而得到⊥平面；（2）先求出平面的法向量，由（1）知為平面的法向量，計(jì)算，然后可求出答案.

（1）取中點(diǎn)，連結(jié)．

∵為正三角形，∴．

∵在正三棱柱中，平面平面，

∴平面．

取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)?/span>軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，，，，，

∴，，．

∴，，

∴，，且

∴平面．

（2）設(shè)平面的法向量為．，．

∴，即，解得，

令得為平面的一個(gè)法向量．

由（1）知平面，為平面的法向量，

∴．

∴銳二面角的大小的余弦值為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)和點(diǎn)．

（Ⅰ）求線段的垂直平分線的直線方程；

（Ⅱ）若直線過點(diǎn)，且，到直線的距離相等．求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)（其中）.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】共享單車是指企業(yè)在校園、地鐵站點(diǎn)、公共站點(diǎn)、居民區(qū)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等提供自行車單車共享服務(wù)，是一種分時(shí)租賃模式，是共享經(jīng)濟(jì)的一種新形態(tài).某共享單車企業(yè)在城市就“一天中一輛單車的平均成本與租用單車數(shù)量之間的關(guān)系”進(jìn)行了調(diào)查，并將相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表：

租用單車數(shù)量（千輛）

2

3

4

5

8

每天一輛車平均成本（元）

3.2

2.4

2

1.9

1.5

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，研究人員設(shè)計(jì)了兩種不同的回歸分析模型，得到兩個(gè)擬合函數(shù)：

模型甲： ，模型乙： .

（1）為了評(píng)價(jià)兩種模型的擬合效果，完成以下任務(wù)：

①完成下表（計(jì)算結(jié)果精確到0.1元）（備注： ， 稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差）；

租用單車數(shù)量（千輛）

2

3

4

5

8

每天一輛車平均成本（元）

3.2

2.4

2

1.9

1.5

模型甲

估計(jì)值

2.4

2

1.8

1.4

殘差

0

0

0.1

0.1

模型乙

估計(jì)值

2.3

2

1.9

殘差

0.1

0

0

②分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和及，并通過比較， 的大小，判斷哪個(gè)模型擬合效果更好.

（2）這家企業(yè)在城市投放共享單車后，受到廣大市民的熱烈歡迎并供不應(yīng)求，于是該企業(yè)決定增加單車投放量.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，市場(chǎng)投放量達(dá)到1萬(wàn)輛時(shí)，平均每輛單車一天能收入7.2元；市場(chǎng)投放量達(dá)到1.2萬(wàn)輛時(shí)，平均每輛單車一天能收入6.8元.若按（1）中擬合效果較好的模型計(jì)算一天中一輛單車的平均成本，問該企業(yè)投放量選擇1萬(wàn)輛還是1.2萬(wàn)輛能獲得更多利潤(rùn)？請(qǐng)說明理由.（利潤(rùn)=收入-成本）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一個(gè)單位有職工500人,其中不到35歲的有125人,35歲至50歲的有280人,50歲以上的有95人.為了了解這個(gè)單位職工與身體狀態(tài)有關(guān)的某項(xiàng)指標(biāo),要從中抽取100名職工作為樣本,應(yīng)該怎樣抽取?

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了對(duì)某課題進(jìn)行討論研究，用分層抽樣的方法從三所高校A、B、C的相關(guān)人員中，抽取若干人組成研究小組，有關(guān)數(shù)據(jù)見下表(單位：人)

高校

相關(guān)人數(shù)

抽取人數(shù)

A

x

1

B

36

y

C

54

3

(1)求x、y；

(2)若從高校B相關(guān)的人中選2人作專題發(fā)言，應(yīng)采用什么抽樣法，請(qǐng)寫出合理的抽樣過程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了了解某省各景點(diǎn)在大眾中的熟知度，隨機(jī)對(duì)15～65歲的人群抽樣了人，回答問題“某省有哪幾個(gè)著名的旅游景點(diǎn)？”統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下圖表

組號(hào)

分組

回答正確

的人數(shù)

回答正確的人數(shù)

占本組的頻率

第1組

[15，25）

0．5

第2組

[25，35）

18

第3組

[35，45）

0．9

第4組

[45，55）

9

0．36

第5組

[55，65]

3

（1）分別求出的值；

（2）從第2，3，4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人，求第2，3，4組每組各抽取多少人？

（3）在（2）抽取的6人中隨機(jī)抽取2人，求所抽取的人中恰好沒有第3組人的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的離心率，左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若直線垂直于軸時(shí)，有.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線： 上兩點(diǎn)， 關(guān)于軸對(duì)稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn).若的面積為，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，數(shù)列滿足：對(duì)任意有.

（1）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時(shí)，．

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