Question

在三棱拄ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，已知BC=1，∠BCC₁=

π

3

，AB=CC₁=2．
（Ⅰ）求證：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）試在棱CC₁（不包含端點C，C₁）上確定一點E的位置，使得EA⊥EB₁；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求AE和平面ABC所成角正弦值的大小．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）要證明C₁B⊥平面ABC，根據(jù)本題條件，需要證明BC₁⊥AB，由AB⊥側(cè)面BB₁C₁C就可以解決；而要證明C₁B⊥BC，則需要通過解三角形來證明；
（Ⅱ）要確定E點的位置，使得EA⊥EB₁，由三垂線定理，必有BE⊥B₁E，通過解直角三角形BEB₁解決；
（Ⅲ）證明側(cè)面BB₁C₁C⊥平面ABC₁，過E做BC₁的垂線交BC₁于F，則EF⊥平面ABC₁，連接AF，可得∠EAF為AE和平面ABC所成角．

解答： （Ⅰ）證明：∵BC=1，∠BCC₁=

π

3

，CC₁=2
∴由余弦定理可得BC₁=

3

，
∴BC2+

BC

2 1

=

CC

2 1

，
∴BC₁⊥BC．
∵AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，BC₁?平面BB₁C₁C，
∴BC₁⊥AB  且BC∩AB=B
∴C₁B⊥平面ABC；------（4分）
（Ⅱ）解：連接BE，EA⊥EB₁，AB⊥EB₁，AB∩AE=A，AB，AE?平面ABE，
從而B₁E⊥平面ABE，且BE?平面ABE，故BE⊥B₁E，
不妨設(shè)CE=x，則C₁E=2-x，則BE²=1+x²-x，
又∵∠B₁C₁C=

2π

3

，則B₁E²=1+x²+x，
在Rt△BEB₁中有x²+x+1+x²-x+1=4，從而x=±1（舍負），
故E為CC₁的中點時，EA⊥EB₁；------（8分）
（Ⅲ）解：∵AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，AB?平面ABC₁，
∴側(cè)面BB₁C₁C⊥平面ABC₁，
過E做BC₁的垂線交BC₁于F，則EF⊥平面ABC₁，連接AF，
∴∠EAF為AE和平面ABC所成角．
∵BC⊥BC₁，EF⊥BC₁，
∴BC∥EF，
∵E為C₁C的中點，
∴F為C₁B的中點，
∴EF=

1

2

，
由（Ⅱ）知AE=

5

，
∴sin∠EAF=

1 2

[  ]5

=

5

10

------（14分）

點評：本題考查線面垂直、線線垂直，考查線面角的求法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，正確運用線面垂直的判定定理是關(guān)鍵．