Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（3，0）在圓C：x²+y²-2mx-4y+m²-28=0內(nèi)，動(dòng)直線AB過點(diǎn)P且交圓C于A，B兩點(diǎn)，若△ABC的面積的最大值為16，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓心坐標(biāo)和半徑，利用三角形面積的最大值，確定直線的位置，利用直線和方程的位置關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-m）²+（y-2）²=32，
則圓心C（m，2），半徑r=4

2

，
S_△ABC=

1

2

r²sin∠ACB≤16sin∠ACB，
∴當(dāng)∠ACB=90時(shí)S取最大值16，
此時(shí)△ABC為等腰直角三角形，AB=

2

r=8，
則C到AB距離=

4 2

2

=4，
∴4≤PC＜4

2

，
即4≤

(m-3)2+22

＜4

2

，
∴16≤（m-3）²+4＜32，
即12≤（m-3）²＜28，
∴

(m-3)2＜28 (m-3)2≥12

，
解得3-2

7

＜m≤3-2

3

或3+2

3

≤m＜3+2

7

，
故答案為：（3-2

7

，3-2

3

]∪[3+2

3

，3+2

7

）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心坐標(biāo)和半徑是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．