Question

在△ABC中，tanA+tanB+tanC＞0是△ABC是銳角三角形的（　　）

• A、既不充分也不必要條件
• B、充分必要條件
• C、必要不充分條件
• D、充分不必要條件

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：根據(jù)充分必要條件的定義，分別證明充分性和必要性，從而得出答案．

解答： 解：先證充分性：
∵tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanA•tanB

，
∴tan（A+B）=tan（180°-C）=-tanC，
∴tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC，
∴tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC，
若三角形有一個鈍角，必有一個值為負(fù)值，tanA•tanB•tanC＜0，
若三角形有一個為直角，則tanA•tanB•tanC無意義，
∴當(dāng)tanA•tanB•tanC＞0時三個角為銳角，
故tanA+tanB+tanC＞0時，△ABC是銳角三角形；
再證必要性：
∵△ABC是銳角三角形；
∴tanA•tanB•tanC＞0，
又tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanA•tanB

，
∴tan（A+B）=tan（180°-C）=-tanC，
∴tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC，
∴tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC＞0，
∴△ABC是銳角三角形時，tanA+tanB+tanC＞0．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查了充分必要條件，考查了三角恒等變換，是一道中檔題．