某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的體積為立方米，且．假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為千元，設(shè)該容器的建造費用為千元．

（Ⅰ）寫出關(guān)于的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）求該容器的建造費用最小時的．

(Ⅰ)；(Ⅱ)當時，建造費用最小時當時，建造費用最小時.

解析試題分析：(Ⅰ)由圓柱和球的體積的表達式，得到l和r的關(guān)系．再由圓柱和球的表面積公式建立關(guān)系式，將表達式中的l用r表示．并注意到寫定義域時，利用l≥2r，求出自變量r的范圍；(Ⅱ)用導數(shù)的知識解決，注意到定義域的限制，在區(qū)間（0，2]中，極值未必存在，將極值點在區(qū)間內(nèi)和在區(qū)間外進行分類討論.
試題解析：（I）設(shè)容器的容積為V，由題意知
故
由于因此                          .3分
所以建造費用
因此                       ..5分
（II）由（I）得
由于   當
令;所以          .7分
（1）當時，

所以是函數(shù)y的極小值點，也是最小值點。           .10分
（2）當即時， 當函數(shù)單調(diào)遞減，
所以r=2是函數(shù)y的最小值點，
綜上所述，當時，建造費用最小時
當時，建造費用最小時                13分
考點：1.函數(shù)解析式和定義域；2.函數(shù)模型的應用；3.函數(shù)最值的求法

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知二次函數(shù)與交于兩點且，奇函數(shù)，當時，與都在取到最小值．
（1）求的解析式；
（2）若與圖象恰有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（1）設(shè)的定義域為A，求集合A；
（2）判斷函數(shù)在（1，+）上單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義加以證明.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)的定義域為，并且滿足，且，當時，
（1）．求的值；（3分）
（2）．判斷函數(shù)的奇偶性；（3分）
（3）．如果，求的取值范圍．（6分）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

某地開發(fā)了一個旅游景點，第1年的游客約為100萬人，第2年的游客約為120萬人.某數(shù)學興趣小組綜合各種因素預測：①該景點每年的游客人數(shù)會逐年增加；②該景點每年的游客都達不到130萬人.該興趣小組想找一個函數(shù)來擬合該景點對外開放的第年與當年的游客人數(shù)（單位：萬人）之間的關(guān)系.
（1）根據(jù)上述兩點預測，請用數(shù)學語言描述函數(shù)所具有的性質(zhì)；
（2）若=，試確定的值，并考察該函數(shù)是否符合上述兩點預測；
（3）若=，欲使得該函數(shù)符合上述兩點預測，試確定的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知為奇函數(shù)，且當時，.當時，的最大值為，最小值為，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知m為常數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù).
（1）求m的值；
（2）若，試判斷的單調(diào)性（不需證明）；
（3）若，存在，使，求實數(shù)k的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設(shè)定義域為的函數(shù)（為實數(shù)）。
（1）若是奇函數(shù)，求的值；  
（2）當是奇函數(shù)時，證明對任何實數(shù)都有成立.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù), .
（1）若, 函數(shù) 在其定義域是增函數(shù)，求的取值范圍；
（2）在（1）的結(jié)論下，設(shè)函數(shù)的最小值；
（3）設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點，過線段的中點作軸的垂線分別交、于點、，問是否存在點，使在處的切線與在處的切線平行？若存在，求出的橫坐標；若不存在，請說明理由.

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