Question

給出下列語句：
①函數y=sin(

5π

2

-2x)是偶函數；
②函數y=sin(x+

π

4

)在閉區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上是增函數；
③函數y=log_a（x-1）+1（a＞1）的圖象必過定點（2，1）
④函數y=3cos（2x-

π

4

）的對稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z；
其中正確的語句的序號是：

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：三角函數的圖像與性質,簡易邏輯

分析：利用誘導公式化簡①，然后判斷奇偶性；求出函數y=sin(x+

π

4

)的增區(qū)間，判斷②的正誤；由對數函數恒過定點（1，0），再根據函數平移變換的公式，結合平移向量公式即可判斷③的正誤；直接利用余弦函數的對稱軸方程，令2x-

π

4

=kπ，化簡即可判斷④的正誤；

解答： 解：對于①，函數y=sin(

5π

2

-2x)=cos2x，它是偶函數，正確；
對于②，函數y=sin(x+

π

4

)的單調增區(qū)間是[-

3π

4

+2kπ，

π

4

+2kπ]，k∈Z，在閉區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上是增函數，不正確；
對于③，由函數圖象的平移公式，可得：將函數y=log_ax（a＞0，a≠1）的圖象向右平移一個單位，再向上平移1個單位，即可得到函數y=log_a（x-1）+1（a＞0，a≠1）的圖象．
又∵函數y=log_ax（a＞0，a≠1）的圖象恒過（1，0）點，
由平移向量公式，易得函數y=log_a（x-1）+1（a＞0，a≠1）的圖象恒過（2，1）點，∴③正確．
對于④，函數y=3cos（2x-

π

4

），令2x-

π

4

=kπ，可得x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z），∴④正確；
故答案為：①③④．

點評：本題考查函數的性質的綜合應用，奇偶性、單調性、對稱軸、圖象的平移，掌握基本函數的基本性質，對數函數的單調性與特殊點，函數y=log_a（x+m）+n（a＞0，a≠1）的圖象恒過（1-m，n）點；函數y=a^x+m+n（a＞0，a≠1）的圖象恒過（-m，1+n）點．