Question

已知拋物線p：x²=4y（p＞0）的焦點為F，過點F作直線l與p交于A，B兩點，p的準線與y軸交于點C．
（Ⅰ）當直線CB的傾斜角為45°時，求直線AB的方程；
（Ⅱ）證明：直線CA與CB關(guān)于y軸對稱．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由題意知F（0，1），C（0，-1），當直線CB的傾斜角為45°時，其方程為y=x-1，代入拋物線方程，得（x-2）²=0，由此能求出直線AB的方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l的方程為y=kx+1，代入拋物線方程x²=4y，得x²-4ky-4=0，由此能證明直線CA與CB關(guān)于y軸對稱．

解答： （Ⅰ）解：∵拋物線p：x²=4y（p＞0）的焦點為F，p的準線與y軸交于點C．
∴F（0，1），C（0，-1），
當直線CB的傾斜角為45°時，其方程為y=x-1，
代入拋物線方程，得（x-2）²=0，
于是點B（2，1），
又直線AB經(jīng)過點F，其方程為y=1．
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l的方程為y=kx+1，
代入拋物線方程x²=4y，得x²-4ky-4=0，
x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
設(shè)直線CA，CB的斜率為k_CA，k_CB，
∴k_CA+k_CB=

y1+1

x1

+

y2+1

x2

=

kx1+2

x1

+

kx2+2

x2

=2k+

2(x1+x2)

x1x2

=0，
∴直線CA與CB關(guān)于y軸對稱．

點評：本題考查直線方程的求法，考查兩直線關(guān)于y軸對稱的證明，解題時要認真審題，注意韋達定理的合理運用．