Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的點到橢圓右焦點F的最大距離為

3

+1，離心率e=

3

3

，直線l過點F與橢圓C交于A，B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）C上是否存在點P，使得當l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有

OP

=

OA

+

OB

成立？若存在，求出所有點P的坐標與l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由條件知

a+c= 3 +1 c a = 3 3

，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）C上存在點P，使得當l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有

OP

=

OA

+

OB

成立．由 （Ⅰ）知C的方程為2x²+3y²=6．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當l垂直于x軸時，C上不存在點P使

OP

=

OA

+

OB

立．當l不垂直x軸時，設(shè)l的方程為y=k（x-1），將y=k（x-1）代入2x²+3y²=6，得：（2+3k²）x²-6k²x+3k²-6=0，由此能求出C上存在點P（

3

2

，±

2

2

），使

OP

=

OA

+

OB

成立，此時l的方程為

2

x±y-

2

=0．

解答： 解：（I）由條件知

a+c= 3 +1 c a = 3 3

，
解得

a= 3 c=1

，
所以b²=a²-c²=2，
故橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1．…（4分）
（Ⅱ）C上存在點P，使得當l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有

OP

=

OA

+

OB

成立．
由 （Ⅰ）知C的方程為2x²+3y²=6．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（�。� 當l垂直于x軸時，由

OA

+

OB

=（2，0）知，
C上不存在點P使

OP

=

OA

+

OB

成立．                                               …（5分）
（ⅱ）當l不垂直x軸時，設(shè)l的方程為y=k（x-1），
將y=k（x-1）代入2x²+3y²=6，并化簡，得：
（2+3k²）x²-6k²x+3k²-6=0，
于是x1+x2=

6k2

2+3k2

，x1x2=

3k2-6

2+3k2

，
C 上的點P使

OP

=

OA

+

OB

成立的充要條件是P點坐標為（x₁+x₂，y₁+y₂），
設(shè)P（x₀，y₀），則

x0=x1+x2 y0=y1+y2

，…（7分）
所以x0=

6k2

2+3k2

，y₀=

-4k

2+3k2

．因為P在橢圓上，
將x₀，y₀代入橢圓方程，得：3k⁴-4k²-4=0，
所以k²=2，k=±

2

，
當k=-

2

時，P（

3

2

，

2

2

），l的方程為

2

x+y-

2

=0．
當k=

2

時，P（

3

2

，-

2

2

），l的方程

2

x-y-

2

=0．…（9分）
綜上，C上存在點P（

3

2

，±

2

2

），使

OP

=

OA

+

OB

成立，
此時l的方程為

2

x±y-

2

=0．…（10分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點的坐標和直線方程是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．